131.Вероятность появления события в каждом из 625 независимых испытаний равна 0,8. Найти вероятность того, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,04.
   Р е ш е н и е. По условию, n = 625; p = 0,8; q = 0,2; ε = 0,04. Требуется найти вероятность Воспользуемся формулой Имеем По таблице приложения 2 найдем Ф(2,5) = 0,4938. Следовательно, 2Ф(2,5) = 2·0,4938 = 0,9876. Итак, искомая вероятность приближенно равна 0,9876.

132. Вероятность появления события в каждом из 900 независимых испытаний равна 0,5. Найти вероятность того, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,02.

133. Вероятность появления события в каждом из 10 000 независимых испытаний равна 0,75. Найти вероятность того, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,01.
   Р е ш е н и е. По условию, n = 10 000; p = 0,75; q = 0,25; ε = 0,01. Требуется найти вероятность . Воспользуемся формулой Имеем По таблице приложения 2 найдем Ф(2,3) = 0,4893. Следовательно, 2Ф(2,3) = 0,979. Итак, искомая вероятность приближенно равна 0,979.

134. Французский ученый Бюффон (XVIII в.) бросил монету 4040 раз, причем "герб" появился 2048 раз. Найти вероятность того, что при повторении опыта Бюффона относительная частота появления "герба" отклонится от вероятности появления "герба" по абсолютной величине не более чем в опыте Бюффона.

135. Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,5. Найти число испытаний n, при котором с вероятностью 0,7698 можно ожидать, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,02.
   Р е ш е н и е. По условию, p = 0,5; q = 0,5; ε = 0,02; Воспользуемся формулой В силу условия или Ф (0,04 √n) = 0,3849. По таблице приложения 2 найдем Ф(1,2) = 0,3849. Следовательно, 0,04 √n = 1,2 или √n = 30. Таким образом, искомое число испытаний n = 900.

136. Сколько раз нужно бросить игральную кость, чтобы вероятность неравенства

была не меньше, чем вероятность противоположного неравенства, где m - число появлений одного очка в n бросаниях игральной кости?
   Р е ш е н и е. Воспользуемся формулой По условию, ε = 0,01; Вероятность осуществления неравенства, противоположного заданному, т. е. неравенства равна Согласно условию должно иметь место неравенство или Отсюда                         (*) По таблице приложения 2 найдем Ф(0,67) = 0,2486; Ф(0,68) = 0,2517. Выполнив линейную интерполяцию, получим Ф(0,6745) = 0,25. Учитывая соотношение (*) и принимая во внимание, что функция Ф(x) - возрастающая, имеем или .Отсюда искомое число бросаний монеты n ≥ 632.

138. B урне содержатся черные и белые шары в отношении 4 :1. после извлечения шара регистрируется его цвет и шар возвращается в урну. Чему равно наименьшее число извлечений n, при котором с вероятностью 0,95 можно ожидать, что абсолютная величина отклонения относительной частоты появления белого шара от его вероятности будет не более чем 0,01?

Вероятность появления события в каждом из 400 независимых испытаний равна 0,8. Найти такое положительное число ε, чтобы с вероятностью 0,99 абсолютная величина отклонения относительной частоты появления события от его вероятности 0,8 не превысила ε.
   Р е ш е н и е. По условию, n = 400; p = 0,8; q = 0,2;.Следовательно, или Ф(50 ε) = 0,495. По таблице приложения 2 найдем Ф(2,57) = 0,495, значит 50ε = 2,57. Отсюда искомое число ε = 0,05.

140. Вероятность появления события в каждом из 900 независимых испытаний равна 0,5. Найти такое положительное число ε, чтобы с вероятностью 0,77 абсолютная величина отклонения относительной частоты появления события от его вероятности 0,5 не превысила ε.

142. Отдел технического контроля проверят на стандартность 900 деталей. Вероятность того, что деталь стандартна, равна 0,9. Найти с вероятностью 0,95 границы, в которых будет заключено число m стандартных деталей среди проверенных.
   Р е ш е н и е. По условию, n = 900, p =0,9, q = 0,1. Следовательно, или Ф(100ε) = 0,475. По таблице приложения 2 найдем Ф(1,96)= 0,475, значит 100ε = 1,96. Отсюда ε ≈ 0,02. Таким образом, с вероятностью 0,95 отклонение относительной частоты числа стандартных деталей от вероятности 0,9 удовлетворяет неравенству или . Отсюда искомое число m стандартных деталей среди 900 проверенных с вероятностью 0,95 заключено в следующих границах: 792 ≤ m ≤ 828.

144. Игральную кость бросают 80 раз. Найти с вероятностью 0,99 границы, в которых будет заключено число m выпадений шестерки.