Локальная и интегральная теоремы Лапласа

Наивероятнейшее число появлений события в независимых испытаниях

Число k₀ (наступления события в независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна p) называют наивероятнейшим, если вероятность того, что событие наступит в этих испытаниях k₀ раз, превышает (или, по крайней мере, не меньше) вероятности остальных возможных исходов испытаний.
Наивероятнейшее число k₀ определяют из двойного неравенства np − q ≤ k₀ < np + p, причем:

если число np − q - дробное, то существует одно наивероятнейшее число k₀;
если число np − q - целое, то существует два наивероятнейших числа, а именно: k₀ +1 и k₀;
если число np - целое, то наивероятнейшее число k₀ = np.

145. Испытывается каждый из 15 элементов некоторого устройства. Вероятность того, что элемент выдержит испытание, равна 0,9. Найти наивероятнейшее число элементов, которые выдержат испытание.
Р е ш е н и е. По условию, n = 15, p = 0,9, q = 0,1. Найдем наивероятнейшее число k₀ из двойного неравенства np − q ≤ k₀ < np + p. Подставив данные задачи, получим 15·0,9 − 0,1 ≤ k₀ < 15·0,9 + 0,9, или 13,5 ≤ k₀ < 14,4. Так как k₀ - целое число и поскольку между числами 13,4 и 14,4 заключено одно целое число, а именно 14, то искомое наивероятнейшее число k₀ = 14.

146. Отдел технического контроля проверяет партию из 10 деталей. Вероятность того, что деталь стандартна, равна 0,75. Найти наивероятнейшее число деталей, которые будут признаны стандартными.

147. Товаровед осматривает 24 образца товаров. Вероятность того, что каждый из образцов будет признан годным к продаже, равна 0,6. Найти наивероятнейшее число образцов, которые товаровед признает годными к продаже.
Р е ш е н и е. По условию, n = 24; p = 0,6; q = 0,4. Найдем наивероятнейшее число годных к продаже образцов товаров из двойного неравенства np - q ≤ k₀ < np + p, подставляя данные задачи, получим 24·0,6 − 0,4 ≤ k₀ < 24·0,6 + 0,6, или 14 ≤ k₀ < 15. Так как np − q = 14 - целое число, то наивероятнейших чисел два: k₀ = 14 и k₀ +1 = 15.

148. Найти наивероятнейшее число правильно набитых перфораторщицей перфокарт среди 19 перфокарт, если вероятность того, что перфокарта набита неверно, равна 0,1.

149. Два равносильных противника играют в шахматы. Найти наивероятнейшее число выигрышей для любого шахматиста, если будет сыграно 2N результативных (без ничьих) партий.
Р е ш е н и е. Известно, что если произведение числа n испытаний на вероятность p появления события в одном испытании есть целое число, то наивероятнейшее число k₀ = np.
В рассматриваемой задаче число испытаний n равно числу сыгранных партий 2N; вероятность появления события равна вероятности выигрыша в одной партии, т.е.

(по условию противники равносильны). Поскольку произведение

– целое число, то искомое наивероятнейшее число k₀ выигранных партий равно N.

150. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность промаха при одном промахе для первого стрелка равна 0,2, а для второго – 0,4. Найти наивероятнейшее число залпов, при которых не будет ни одного попадании в мишень, если стрелки произведут 25 залпов.
Р е ш е н и е. Промахи стрелков есть независимые события, поэтому применима теорема умножения вероятностей независимых событий. Вероятность того, что оба стрелка при одном залпе промахнутся, p = 0,2·0,4 = 0,08.
Поскольку произведение np = 25·0,08 = 2 – целое число, то наивероятнейшее число залпов, при которых не будет ни одного попадания, k₀ = np = 2 .

151. Два стрелка одновременно стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,8, а для второго – 0,6. Найти наивероятнейшее число залпов, при которых оба стрелка попадут в мишень, если будет произведено 15 залпов.
Р е ш е н и е. Промахи стрелков есть независимые события, поэтому применима теорема умножения вероятностей независимых событий. Вероятность того, что оба стрелка при одном залпе промахнутся, p = 0,8·0,6 = 0,48. Поскольку произведение np - q= 15·0,48 - 0,52 = 6,48 – нецелое число, то наивероятнейшее число залпов, при которых не будет ни одного попадания, k₀ = [np] = 7.

152. Сколько надо произвести независимых испытаний с вероятностью появления события в каждом испытании, равной 0,4, чтобы наивероятнейшее число появлений события в этих испытаниях было равно 25?
Р е ш е н и е. По условию k₀ = 25; p = 0,4; q = 0,6. Воспользуемся двойным неравенством

np - q ≤ k₀ < np + p, Подставляя данные задачи, получим систему неравенств для определения неизвестного числа: 0,4n - 0,6 ≤ 25, 0,4n + 0,4 > 25. Из первого неравенства системы найдем

.
Из второго неравенства системы имеем

153. Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,3. Найти число испытаний n, при котором наивероятнейшее число появлений события в этих испытаниях будет равно 30.

154. Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,7. Найти число испытаний n, при котором наивероятнейшее число появлений события в этих испытаниях будет равно 20.

155. Чему равна вероятность p наступления события в каждом из 49 независимых испытаний, если наивероятнейшее число наступлений события в этих испытаниях равно 30?
Р е ш е н и е. По условию, k0 = 30; n = 49. Воспользуемся двойным неравенством np - q ≤ k₀ < np + p Подставляя данные задачи, получим систему неравенств для определения неизвестной вероятности p: 49p + p > 30, 49p - (1 - p) ≤ 30. Из первого неравенства системы найдем p > 0,6. Из второго неравенства системы найдем p ≤ 0,62. Итак, искомая вероятность должна удовлетворять двойному неравенству 0,6 < p ≤ 0,62.

156. Чему равна вероятность p наступления события в каждом из 39 независимых испытаний, если наивероятнейшее число наступлений события в этих испытаниях равно 25?

157. Батарея произвела шесть выстрелов по объекту. Вероятность попадания в объект при одном выстреле равна 0,3. Найти: а) наивероятнейшее число попаданий; б) вероятность наивероятнейшего числа попаданий; в) вероятность того, что объект будет разрушен, если для этого достаточно хотя бы двух попаданий.
Р е ш е н и е. По условию, n = 6; q = 0,7; p = 0,3. а) Найдем наивероятнейшее число попаданий по формуле np − q ≤ k₀ < np + p Подставив данные задачи, получим 6·0,3 − 0,7 ≤ k₀ < 6·0,3 + 0,3 или 1,1 ≤ k₀ < 2,1. Отсюда k₀ = 2.
б) найдем вероятность наивероятнейшего числа попаданий по формуле Бернулли

в) найдем вероятность того, что объект будет разрушен. По условию, для этого достаточно, чтобы было или 2, или 3, или 4, или 5, или 6 попаданий. Эти события несовместны, поэтому вероятность разрушения объекта равна сумме вероятностей этих событии: P = P₆ (2) + P₆(3) + P₆ (4) + P₆ (5) + P₆ (6). Однако проще сначала найти вероятность Q противоположного события (ни одного попадания или одно попадание):

Искомая вероятность того, что объект будет разрушен, p = 1 - q = 1 − 0,42 = 0,58.

158. Прибор состоит из пяти независимо работающих элементов. Вероятность отказа элемента в момент включения прибора равна 0,2. Найти: а) наивероятнейшее число отказавших элементов; б) вероятность наивероятнейшего числа отказавших элементов; в) вероятность отказа прибора, если для этого достаточно, чтобы отказали хотя бы четыре элемента.