Производящая функция

   Пусть производная n независимых испытаний, причем в первом испытании вероятность появления события А равна p1, во втором – p2,…, в n – м испытании – pn; вероятность не появления события А соответственно равны q1, q2,…,qn; Pn(k) – вероятность появления события А в n испытаниях равно k раз.
   Производящей функцией вероятности Pn(k) – называют функцию, определяемую равенством φn(z)= (p1z + q1)·(p2z + q2)·…·(pnz + qn). Вероятность Pn(k) того , что в n независимых испытаниях, в первом из которых вероятность появления события А равны p1, во втором р2 и т.д., события А появится равно k раз, равна коэффициенту при zk в разложении производящей функции по степеням z. Например, если n = 2, то φ2(z) = (p1z + q1)·(p2z + q2) = p1·p2·z² + (p1q2 + p2q1)·z + q1q2. Здесь коэффициент p1p2 при z² равен вероятности P2(2) того, что событие А появится ровно два раза в двух испытаниях; коэффициент p1q2 + p2q1 при z равен вероятности P2(1) того, что событие А появится равно один раз; коэффициент при z0, т.е. свободный член q1q2 равен вероятности P2(0) того, что событие А не появится ни одного раза.
   Заметим, что если в различных испытаниях появляются р а з л и ч н ы е события (в первом испытании события А1, во втором – событие А2 и т.д.), то изменяется лишь истолкование коэффициентов при различных степенях z). Например, в приведенном выше разложении коэффициент p1p2 определяет вероятность появления двух событий А1 и А2.

150. Устройство состоит из трех независимо работающих элементов. Вероятности безотказной работы элементов (за время t) соответственно равны: p1 = 0,7; p2 = 0,8; p3 = 0,9. Найти вероятность того , что за время t будут работать безотказно: а) все элементы; б) два элемента; в) один элемент; г)ни один из элементов.
   Р е ш е н и е . Вероятности безотказной работы элементов соответственно равны: p1 = 0,7; p2 = 0,8; p3 = 0,9, поэтому вероятности того, что элементы окажут, q1 = 0,3; q2 = 0,2; q3 = 0,1.
   Составим производящую функцию:

φ3(z) = (p1z + q1)·(p2z + q2)·(p3z + q3) = (0,7z + 0,3)·(0,8z + 0,2)·(0,9z + 0,1) = 0,504z ³ + 0,398z ² + 0,092z + 0,006.
а) Вероятность того, что три элемента будут работать безотказно, равна коэффициенту при z ³: P3(3) = 0,504.
б) Вероятность того, что два элемент будет работать безотказно, равна коэффициенту при z ²: P3(2) = 0,398.
в) Вероятность того, что один элемент будет работать безотказно, равна коэффициенту при z1: P3(1) = 0,092.
г)Вероятность того, что ни один из элемент не будет работать безотказно, равна свободному члену: P3(0) = 0,006.
К о н т р о л ь: 0,504 + 0,398 + 0,092 + 0,006 = 1.

160. Из двух орудий произведен залп по цели. Вероятность попадания в цель для первого орудия равна 0,8, для второго – 0,9. Найти вероятность следующих событий; а) два попадания; б)одно попадание; в) ни одного попадания; г) не менее одного попадания.

161. Из трех орудий произведен залп по цели. Вероятность попадания в цель для первого орудия равна 0,8 для второго – 0,85, для третьего – 0,9. Найти вероятности следующих событий: а) три попадания в цель; б) два попадания; в) одно попадание; г) ни одного попадания; д) хотя бы одно попадание.

162. Четыре элемента вычислительного устройства работают независимо. Вероятность отказа первого элемента за время t равна 0,2, второго – 0,25, третьего – 0,3, четвертого – 0,4. найти вероятность того, что за время t откажут: а) 4 элемента; б) 3 элемента; в) 2 элемента; г) 1 элемент; д) ни один элемент; е) не более двух элементов.

163. Две батарей по 3 орудия каждая производят залп по цели. Цель будет поражена, если каждая из батарей даст не менее двух попаданий. Вероятности попадания в цель орудиями первой батареи равны 0,4; 0,5; 0,6, второй – 0,5; 0,6; 0,7. Найти вероятность поражения цели при одном залпе из двух батарей.