Законы биномиальный и Пуассона

Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины. Законы биномиальной и Пуассона

Дискретной называют случайную величину, возможные значения которой есть отдельные изолированные числа (т.е. между двумя соседними возможными значениями нет возможных значений), которые эта величина принимает с определенными вероятностями. Другими словами, возможны значения дискретной случайной величины можно перенумеровать. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным (в последнем случае множество всех возможных значений называют счетным).
Законом распределения дискретной случайной величины называют перечень ее возможных значений и соответствующих им вероятностей. Закон распределения дискретной случайной величины Х может быть задан в виде таблицы, первая строка которой содержит возможные значения x_i ,а вторая – вероятности p_i;

X	x₁	x₂	…x_n
P	p₁	p₂	…p_n

где

.
   Если множество возможных значений Х бесконечно (счетно), то ряд p₁ + p₂ + …. Сходится и его сумма равна единице.
   Закон распределение дискретной случайной величины Х может быть также задан аналитически (в виде формулы) P(X = x _i) = φ(x _i) или с помощью функции распределения.
   Закон распределения дискретной случайной величины можно изобразить графически, для чего в прямоугольной системе координат строят точки M₁(x₁: p₁), M₂(x₂; p₂), ….,M_n(x _n; p _n) (x _i – возможные значения Х, р _i – соответствующие вероятности) и соединяют их отрезками прямых. Полученную фигуру называют многоугольником распределения.
   Биноминальным называют закон распределения дискретной случайной величины Х – числа появления события в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна p; вероятность возможного значения Х = k (числа k появлений события) вычисляют по формуле Бернулли:

. Если число испытаний велико, а вероятность р появления события в каждом испытании очень мала, то используют приближенную формулу

, где k – число появлении события в n независимых испытаниях, λ = np (среднее число появлений события в n испытаниях), и говорят, что случайная величина распределена по закону Пуассона.

164. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения:

X	1	3	6	8
P	0,2	0,1	0,4	0,3

Построить многоугольник распределения.

Р е ш е н и е . Построим прямоугольную систему координат, причем по оси абцисс будем откладывать возможные значения x _i, а по оси ординат – соответствующие вероятности p _i. Построим точки M₁(1;0,2), M₂(3;0,1), M₃(6;0,4) и M₄(8;0,3). Соединив эти точки отрезками прямых, получим искомый многоугольник распределения (рис. 5).

165. Дискретная случайная величина Х заданна законом распределения:

a)	X	2	4	5	6
a)	P	0,3	0,1	0,2	0,4

б)	X	10	15	20
б)	P	0,1	0,7	0,2

Построить многоугольник распределения.

166. Устройство состоит из трех независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0,1. Составить закон распределения числа отказавших элементов в одном опыте.
Р е ш е н и е. Дискретная случайная величина Х (число отказавших элементов в одном опыте) имеет следующие возможные значения: x₁ = 0 (ни один из элементов устройства не отказал), х₂ = 1 (отказал один элемент), х₃ = 2 (отказали два элемента) и х₄ = 3 (отказали три элемента).
Отказы элементов независимы один от другого, вероятности отказа каждого элемента равны между собой, поэтому применима формула Берннули. Учитывая, что, по условию, n = 3, p = 0,1 (следовательно, q = 1 - 0,1 = 0,9), получим:

К о н т р о л ь: 0,729 + 0,243 + 0,027 + 0,001 = 1. Напишем искомый биноминальный закон распределения Х :

Х	0	1	2	3
Р	0,729	0,243	0,027	0,001

167. В партии 10% нестандартных деталей. Наудачу отобраны четыре детали. Написать биноминальный закон распределения дискретной случайной величины Х – числа нестандартных деталей среди четырёх отобранных и построить многоугольник полученного распределения.
Р е ш е н и е. Дискретная случайная величина Х (число отобранных деталей) имеет следующие возможные значения: x₁ = 0 (нет ни одной нестандартной деталей), х₂ = 1 (есть одна нестандартная деталь), х₃ = 2 (есть две нестандартных детали) и х₄ = 3 (есть три нестандартных детали). x₅ = 4 (все нестандартные детали).
Нестандартные детали независимы один от другого, поэтому применима формула Бернулли. Учитывая, что, по условию, n = 4, p = 0,1 (следовательно, q = 1 - 0,1 = 0,9), получим:

К о н т р о л ь. 0,6561 + 0,2916 + 0,0486 + 0,0036 + 0,0001 = 1. Напишем искомый биноминальный закон распределения Х:

Х	0	1	2	3	4
Р	0,6561	0,2916	0,0486	0,0036	0,0001

168. Написать биноминальный закон распределения дискретной случайной величины Х – числа появлений "герба" при двух бросаниях монеты.

169. Две игральные кости одновременно бросают два раза. Написать биноминальный закон распределения дискретной случайной величины X – числа выпадения чётного числа очков на двух игральных костях.

170. в партий из 10 деталей имеется 8 стандартных. Наудачу отобраны две детали. Составить закон распределения числа стандартных деталей среди отобранных.
Р е ш е н и е. Случайная величина Х – число стандартных деталей среди отобранных деталей – имеет следующие возможные значения: x₁ = 0, x₂ = 1, x₃ = 2. Найдем вероятности возможных значений Х по формуле

(N – число деталей в партий, n – число стандартных деталей в партий, m – число отобранных деталей, k – число стандартных деталей среди отобранных), находим:

Составим искомый закон распределения:

X	0	1	2
P	1/45	16/45	28/45

К о н т р о л ь: 1/45 + 16/45 + 28/45 = 1.

171. В партий из шести деталей имеется четыре стандартных. Наудачу отобраны три детали. Составим закон распределения дискретной случайной величины Х – числа стандартных деталей среди отобранных.
172. После ответа студента на вопросы экзаменационного билета экзаменатор задает студенту дополнительные вопросы. Преподаватель прекращает задавать дополнительные вопросы, как только студент обнаруживает незнание заданного вопроса. Вероятность того, что студент ответит на любой заданный дополнительный вопрос, равна 0,9. Требуется:
а) составить закон распределения случайной дискретной величины Х – числа дополнительных вопросов, которые задает преподаватель студенту;
б) найти наивероятнейшее число k₀ заданных студенту дополнительных вопросов.
Р е ш е н и е. а) Дискретная случайная величина Х – число заданных дополнительных вопросов – имеет следующие возможные значения: x₁ = 1. x₂ = 2, x₃ = 3, … , x_k = k, ….Найдем вероятности этих возможных значений.
Величина Х примет возможные значение x₁ = 1 (экзаменатор задает только один вопрос), если студент не ответит на первый вопрос. Вероятность этого возможного значения равна 1 - 0,9 = 0,1. Таким образом, P(X = 1) = 0,1. Величина Х примет возможные значение x₂ = 2 (экзаменатор задает только два вопроса), если студент ответит на первый вопрос (вероятность этого события равна 0,9) и не ответит на второй (вероятность этого события равна 0,1).Таким образом, P(X = 2) = 0,9·0,1 = 0,09. Аналогично найдем P(X = 3) = 0,9²·0,1 = 0,081, … , P(X = k) = 0,9^{k - 1}·0,1, … Напишем искомый закон распределения:

X	1	2	3	…	k	…
P	0,1	0,09	0,081	…	0,9^{k - 1}·0,1	…

б) Наивероятнейшее число k₀ заданных вопросов (наивероятнейшее возможное значение Х), т. е. число заданных преподавателем вопросов, которое имеет набольшую вероятность, как следует из закона распределения, равно единице.

173. Вероятность того, что стрелок попадает в мишень при одном выстреле, равна 0,8. Стрелку выдаются патроны до тех пор, пока не промахнется. Требуется: а) составить закон распределения дискретной случайной величины Х – числа патронов, выданных стрелку; б) найти наивероятнейшее число выданных стрелку патронов.
174. Из двух орудии поочередно ведется стрельба по цели до первого попадания одним из орудий. Вероятность попадания в цель первым орудием равна 0,3, вторым – 0,7. Начинает стрельбу первое орудие. Составить законы распределения дискретных случайных величин Х и Y – числа израсходованных снарядов соответственно первым и вторым орудием.
Р е ш е н и е. Пусть события A _i и B _i – попадание в цель соответственно первым и вторым орудием при i – м выстреле; Ā _i и B_i– промахи.
Найдем закон распределения случайной величины Х – числа израсходованных первым орудием снарядов. Первое орудие израсходует один снаряд (Х = 1), если оно попадет в цель при первом выстреле, или оно промахнется, а второе орудие при первом выстреле попадет в цель: p₁ = P(X = 1) = P(A₁ + A₁ B₁) = P(A₁) + P( A₁ B₁) = P(A₁) + P(A₁) · P(B₁) = 0,3 + 0,7·0,7 = 0,79. Первое орудие израсходует два снаряда, если оба орудия при первом выстреле промахнуться, а при втором выстреле первое орудие попадает в цель, или оно промахнется, а второе орудие при втором выстреле попадает в цель: p₂ = P(X = 2) = P( A₁ B₁A₁ + A₁ B₁ A₂B₂) = 0,7·0,3·0,3 + 0,7·0,3·0,7·0,7 = 0,21·(0,3 + 0,49) = 0,79·0,21. Аналогично получим P(X = k)=0,79·0,31^{k - 1}.
Искомый закон распределения дискретной случайной величины Х – числа снарядов, израсходованных первым орудием:

X	1	2	3	…	k	…
P	0,79	0,79·0,21	0,79·0,212	…	0,79·0,21^k-1	…

К о н т р о л ь:

.
Найдем закон распределение дискретной случайной величины Y – числа снарядов, израсходованных вторым орудием. Если первое орудие при первом выстреле попадает в цель, то стрельба из второго орудия не будет произведена: p₁ = P(Y = 0) = P(A₁) = 0,3. Второе орудие израсходует лишь один снаряд, если при первом выстреле оно попадает в цель, или если оно промахивается, а первое орудие попадает в цель при втором выстреле: p₂ = P (Y = 1) = P(A₁B₁ + A₁B₁A₂) = 0,7·0,7 + 0,7·0,3·0,3 = 0,553. Вероятность того, что второе орудие израсходует два снаряда,

Выполнив выкладки, найдем p₃ = 0,553·0,21^{k - 1}. Аналогично получим P(Y = k) = 0,553·0,21^{k - 1}. Искомый закон распределения дискретной случайной величины Y – числа снарядов, израсходованных вторым орудием:

Y	0	1	2	…	k	…
P	0,3	0,553	0,533·0,21	…	0,553·0,21^{k - 1}	…

К о т р о л ь:

175. Два бомбардировщика поочередно сбрасывают бомбы на цель до первого попадания. Вероятность попадания в цель первым бомбардировщиком равна 0,7, вторым – 0,8. Вначале сбрасывает бомбы первый бомбардировщик. Составить первые четыре члена закона распределения дискретной случайной величины Х – числа сброшенных бомб обоими бомбардировщиками (т.е. ограничится возможными значениями Х, равными 1, 2,3 и 4).

176. Учебник издан тиражом 100 000 экземпляров. Вероятность того, что учебник сброшюрован неправильно, равна 0,0001. найти вероятность того, что тираж содержит ровно пять бракованных книг.
Р е ш е н и е. По условию, n = 100 000, p = 0,0001, k = 5. Cобытия, состоящие в том, что книги сброшюрованы неправильно, независимо, число n велико, а вероятность p мала, поэтому воспользуемся распределением Пуассона

Найдем λ: λ = np = 100 000·0,0001 = 10. Искомая вероятность P_{100 000}(5) = 10⁵ ·e^{- 10}/5 = 10⁵·0,000045/120 = 0,0375.

177. Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо один от другого. Вероятность отказа любого элемента в течение времени T равна 0,002. найти вероятность того, что за время t откажут ровно три элемента.
У к а з а н и е. Принять e^-2 = 0,13534.

178. Станок автомат штампует детали. Вероятность того, что изготовленная деталь окажется бракованной, равна 0,01. найти вероятность того, что среди 200 деталей окажется ровно четыре бракованных.

179. Завод отправил на базу 500 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна 0,002. найти вероятность того, что в пути будет повреждено изделий. а) ровно три; б) менее трех; в) более трех; г) хотя бы одно.
Р е ш е н и е. Число n = 500 велико, вероятность p = 0,002 мала и рассматриваемые события (повреждение деталей) независимы, поэтому имеет место формула Пуассона

. а) Найдем λ: λ = np = 500·0,002 = 1. Найдем вероятность того, что будет повреждено ровно 3 (k = 3) изделия: P₅₀₀(3) = e^-1/3! = 0,36788/6 = 0,0623. б) Найдем вероятность того, что будет повреждено менее трех изделий: P₅₀₀(0) + P₅₀₀ (1) + P₅₀₀(2)= e^{- 1} + e ^-1 + e ^{- 1/2} = (5/2)e^-1 = (5/2)·0,36788 = 0,9197. в) Найдем вероятностьP того, что будет повреждено более трех изделий. события "повреждено более трех изделий" и "повреждено не более трех изделий"(обозначим вероятность этого события через Q) - противоположны, поэтому P + Q = 1. Отсюда P = 1 − Q = 1 − [P₅₀₀(0) + P₅₀₀(1) + P₅₀₀(2) + P₅₀₀(3)]. Используя результаты, полученные выше, имеем P = 1 − [0,9197 + 0,0623] = 0,019. г) Найдем вероятность P₁ того, что будет повреждено хотя бы одно изделие. События "повреждено хотя бы одно изделие" и "ни одно из изделий не повреждено" (обозначим вероятность этого события через Q₁) – противоположные, следовательно, P₁ + Q₁ = 1. Отсюда искомая вероятность того, что будет повреждено хотя бы одно изделие, равна P₁ = 1 − Q₁ = 1 − P₅₀₀(0) = 1 − e^{- 1} = 1 − 0,36788 = 0,632.

181. а) Устройство состоит из большого числа независимо работающих элементов с одинаковой (очень малой) вероятностью отказа каждого элемента за время T. Найти среднее число отказавших за время T элементов, если вероятность того, что за время откажет хотя бы один элемент, равна 0,98.
Р е ш е н и е. Из условия задачи следует (поскольку число элементов велико, элементы работают независимо и вероятность отказа каждому элемента мала), что число отказов распределено по закону Пуассона, причем требуется найти параметр (среднее число отказов). Вероятность того, что откажет хотя бы один элемент, по условию равна 0,98, следовательно, 1 − e^{- λ} =0,98. Отсюда e ^{- λ} = 1 − 0,98 = 0,02. По таблице функции e^{- x} находим λ = 3,9. Итак, за время T работы устройства откажет примерно четыре элемента.
б) Найти средне число λ бракованных изделий в партии изделий, если вероятность того, что в этой партии содержится хотя бы одно бракованное изделие, равна 0,95. Предполагается, что число бракованных изделий в рассматриваемой партии распределено по закону Пуассона.
У к а з а н и е. Принять e^-3=0,05.

182. Доказать, что сумма вероятностей числа появлений события в независимых испытаниях, вычисленных по закону Пуассона, равна единице. Предполагается, что испытания производится бесчисленное количество раз.
Р е ш е н и е. В силу закона Пуассона

Используем разложение функции ex в ряд Маклорена: e^x = 1 + x/1 ! + x²/2 ! + …. Известно, что этот ряд сходится при любом значении х, поэтому, положив х = λ, получим

Найдем искомую сумму вероятностей

учитывая, что e^-λ не зависит от k и, может быть вынесено за знак суммы:

З а м е ч а н и е. Утверждение задачи следует немедленно из того, что сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице. Приведенное доказательство преследует учебные цели.

183. Вероятность выигрыша по одному лотерейному билету p = 0,01. сколько нужно купить билетов, чтобы выиграть хотя бы по одному из них с вероятностью p, не меньшей, чем 0,95?
Р е ш е н и е. Вероятность выигрыша мала, а число билетов, которое нужно купить, очевидно, велико, поэтому случайное число выигрышных билетов имеет приближено распределение Пуассона.
Ясно, что события "ни один из купленных билетов не является выигрышным" и "хотя бы один билет – выигрышным" – противоположные. Поэтому сумма вероятностей этих событии равна единице:

P_n(0) + P = 1, или P = 1 − P_n(0). (*) Положив k = 0 в формуле Пуассона

, получим P_n(0) = e^{- λ}. Следовательно, соотношение(*) примет вид P = 1 − e^{- λ} . По условию, P ≥ 0,95, или 1 − e ^{- λ} ≥ 0,95. Отсюда e^{- λ} ≤ 0,05. (**) По таблице функции e^-x находим e^-3 = 0,05. Учитывая, что функция e^-x – убывающая, заключаем, что неравенство (**) выполняется при λ ≥ 3, или при nр ≥ 3. Следовательно, n ≥ 3/p = 3/0,01 = 300. Итак, надо купить не менее 300 билетов, чтобы выиграть хотя бы по одному из них.