307. Плотность равномерного распределения сохраняет в интервале (a, b) постоянное значение, равное С; вне этого интервала f (x) = 0. Найти значение постоянного параметра С.

308. Цена деления шкалы амперметра равна 0,1 А. Показания округляют до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка, превышающая 0,02 А.
   Р е ш е н и е. Ошибку округления отсчета можно рассматривать как случайную величину Х, которая распределена равномерно в интервале между двумя соседними целыми делениями. Плотность равномерного распределения f(x) = 1/(b − a), где (b − a) – длина интервала, в котором заключены возможные значения Х; вне этого интервала f (x) = 0. В рассматриваемой задаче длина интервала, в котором заключены возможные значения Х, равна 0,1, поэтому f (x) = 1/0,1 = 10. Легко сообразить, что ошибка отсчета превысит 0,02, если она будет заключена в интервале (0,02; 0,08).
   По формуле  получим .

309. Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,2. Показания прибора округляют до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка: а) меньшая 0,04; б) большая 0,05.
О т в е т. а) 0,4; б) 0,5.
310. Автобусы некоторого маршрута идут строго по расписанию. Интервал движения 5 мин. Найти вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке, будет ожидать очередной автобус менее 3 мин.

311. Минутная стрелка электрических часов перемещается скачком в конце каждой минуты. Найти вероятность того, что в данное мгновение часы покажут время, которое отличается от истинного не более чем на 20 с.

313. Найти математическое ожидание случайной величины Х, равномерно распределенной в интервале (a, b).
   Р е ш е н и е. График плотности равномерного распределения симметричен относительно прямой x = (a + b)/2, поэтому M(x) = (a + b)/2.
   Итак, математическое ожидание случайной величины, равномерно распределенной в интервале (a, b), равно полусумме концов этого интервала. Разумеется, этот же результат можно получить по формуле

.

315. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х, распределенной равномерно в интервале (a, b).
   Р е ш е н и е. Используем формулу

.

Подставив f (x) = 1/(b − a), M(x) = (a + b)/2 (см. задачу 313) и выполнив элементарные выкладки, получим искомую дисперсию . Среднее квадратическое отклонение случайной величины Х равно квадратному корню из ее дисперсии: . В частности, дисперсия и среднее квадратическое отклонение случайной величины R, распределенной равномерно в интервале (0,1), соответственно равны: D(R) = 1/12, σ (R) = 1/(2√2).

317. Равномерно распределенная случайная величина Х задана плотностью распределения f (x) = 1/21 в интервале (a – l, а + l); вне этого интервала f(x) = 0. Найти математическое ожидание и дисперсию Х.

318. Диаметр круга х измерен приближенно, причем a ≤ x ≤ b. Рассматривая диаметр как случайную величину Х, распределенную равномерно в интервале (a, b), найти математическое ожидание и дисперсию площади круга.
   Р е ш е н и е. 1. Найдем математическое ожидание площади круга – случайной величины Y = φ(X) = π·X²/4 по формуле . Подставив φ(x) = π·x²/4, f(x) = 1/(b - a), и выполнив интегрирование, получим .    2. Найдем дисперсию площади круга по формуле . Подставив φ(x) = π·x²/4, f(x) = 1/(b - a), и выполнив интегрирование, получим .

319. Ребро куба х измерено приближенно, причем a ≤ x ≤ b. Рассматривая ребро куба как случайную величину Х, распределенную равномерно в интервале (a, b), найти математическое ожидание и дисперсию объема куба.

.                        (*)

.

.                        (**)

.                        (***)

.