Функция распределения вероятностей случайной величины

   Функцией распределения называют функцию F (x), определяющую для каждого значения x вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее x, т. е. F(x) = P (Х < x). Часто вместо термина «функция распределения» используют термин «интегральная функция распределения».
   Функция распределения обладает следующими свойствами:
   С в о й с т в о 1. Значения функции распределения принадлежат отрезку [0; 1]: 0 ≤ F (x) ≤ 1 .    С в о й с т в о 2. Функция распределения есть неубывающая функция: F(x ₁) ≥ F(x₂), если x ₂ > x ₁. С л е д с т в и е 1. Вероятность того, что случайная величина X примет значение, заключенное в интервале (а, b), равна приращению функции распределения на этом интервале: P (а < X < b ) = F(b) − F(a). С л е д с т в и е 2. Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет одно определенное значение, например x₁ равна нулю: P (Х = x₁) = 0. С в о й с т в о 3. Если все возможные значения случайной величины X принадлежат интервалу (а, b), то F (x) = 0 при x ≤ а; F (x) = 1 при x ≥ b . С л е д с т в и е. Справедливы следующие предельные соотношения:

С в о й с т в о 4. Функция распределения непрерывна слева:

252. Случайная величина X задана функцией распределения

Найти вероятность того, что в результате испытания величина X примет значение, заключенное в интервале (0,1/3).
Решение. Вероятность того, что X примет значение, заключенное в интервале (а, b), равна приращению функции распределения на этом интервале: P (а < X < b) = F(a) – F(b). Положив а =0, b = 1/3, получим P(0 < X < 1/3) = F(1/3) – F(0) = [(3/4)·x + 3/4]_{x = 1/3} – [(3/4)·x + 3/4]_{x = 0} = 1/4.

253. Случайная величина X задана на всей оси Ох функцией распределения

F(x) = 1/2 + (arctg x )/π. Найти вероятность того, что в результате испытания величина X примет значение, заключенное в интервале (0, 1).

254. Случайная величина X задана функцией распределения

Найти вероятность того, что в результате испытания величина X примет значение, заключенное в интервале (– 1,1).

255. Функция распределения непрерывной случайной величины X (времени безотказной работы некоторого устройства) равнаF(x) = 1 – е^-x/T (x ≥ 0). Найти вероятность безотказной работы устройства за время x ≥ T.

256. Случайная величина X задана функцией распределения

Найти вероятность того, что в результате испытания X примет значение: а) меньшее 0,2; б) меньшее трех; в) не меньшее трех; г) не меньшее пяти.
Р е ш е н и е. а) Так как при x ≤ 2 функция F (x) = 0, то F (0,2) = 0, т. е. P(X < 0,2) = 0.
б) P(X < 3) = F (3) = [0,5x – 1]_{x = 3} = 1,5 – 1 = 0,5;
в) события Х ≥ З и X < 3 противоположны, поэтому P(X ≥ 3) + P(X < 3) = 1. Отсюда, учитывая, что P(X < 3) = 0,5 [см. п. б)], получим P(X ≥ 3) = 1– 0,5 = 0,5. г) сумма вероятностей противоположных событий равна единице, поэтому P(X ≥ 5) + P(X < 5 ) = 1. Отсюда, используя условие, в силу которого при x > 4 функция F(x) = 1, получим P(X ≥ 5) = 1 – P(X < 5) = 1 – F(5) = 1 – 1 = 0; 257. Случайная величина X задана функцией распределения

Найти вероятность того, что в результате четырех независимых испытаний величина X ровно три раза примет значение, принадлежащее интервалу (0,25, 0,75).
Р е ш е н и е. Вероятность того, что X примет значение, заключенное в интервале (а, b), равна приращению функции распределения на этом интервале: P (а < X < b ) = F(a) – F(b). Положив а =0,25, b = 0,75, получим P (0,25 < X < 0,75) = F(0,75) – F(0,25) = [ x²] _{x = 0,75} - [ x²] _{x = 0,25} = 9/16 – 1/16 = 8/16 = 0,5. Т. к. во всех испытаниях вероятность того, что появится величина в интервале (0,25, 0,75) постоянна и безразлично, в какой последовательности будут происходить испытания, то применима формула Бернулли.
Найдем вероятность того, что величина X примет значение, принадлежащее интервалу (0,25, 0,75),в результате трех испытаний из четырех:

258. Случайная величина X задана на всей оси Ох функцией распределения F (x) = 1/2 + (1/ π) arctg (x/2). Найти возможное значение x₁ удовлетворяющее условию: с вероятностью 1/4 случайная величина X в результате испытания примет значение, большее x₁.
Р е ш е н и е. События X ≤ x₁ и X > x₁ – противоположные, поэтому P (X ≤ x₁) + P(X > x ₁) = 1. Следовательно, P(X ≤ x ₁) = 1 − P(X > x ₁) = 1 − 1/4 = 3/4. Так как P(X = x₁) = 0, то

P (X ≤ x₁) = P (X = x₁) + P (X < x₁) = P (X < x₁) = 3/4. По определению функции распределения, P (X < x₁) = F(x₁) = 1/ 2 + (1/π)·arctg (x₁/2). Следовательно, 1/2 + (1/π)·arctg(x₁/2) = (3/4), или arctg (x₁/2) = π/4. Отсюда x₁/2 = 1, или x₁ =2.

259. Случайная величина X задана на всей оси Ох функцией распределения F(x) = 1/2 + (1/π)·arctg (x/2). Найти возможное значение x₁, удовлетворяющее условию: с вероятностью 1/6 случайная величина X в результате испытания примет значение, большее x₁.
260. Дискретная случайная величина X задана законом распределения

X	2	4	7
p	0,5	0,2	0,3

Найти функцию распределения F(x) и начертить ее график.

Р е ш е н и е. Если x ≤ 2, то F (x) = 0 . Действительно, значений, меньших числа 2, величина X не принимает.
Следовательно, при x ≤ 2 функция F(x) = P(X < x) = 0.
   Если 2 < x ≤ 4, то F(x) = 0,5. Действительно, X может принять значение 2 с вероятностью 0,5.
   Если 4 < x ≤ 7, то F(x) = 0,7. Действительно, X может принять значение 2 с вероятностью 0,5 или значение 4 с вероятностью 0,2; следовательно, одно из этих значений, безразлично какое, X может принять (по теореме сложения вероятностей несовместных событий) с вероятностью 0,5 + 0,2 = 0,7.
   Если x > 7, то F(x) = 1 . Действительно, событие верно и вероятность его равна единице.
   Итак, искомая функция распределения имеет вид

График этой функции приведен на рис. 6.

261. Дискретная случайная величина задана законом распределения

X	3	4	7	10
p	0,2	0,1	0,4	0,3

Найти функцию распределения и построить ее график.