Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины

   Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины называют первую производную от функции распределения: f(x) = F '(x).
   Часто вместо термина «плотностью распределения» используют термины «плотность вероятностей» и «дифференциальная функция».
   Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (а, b), определяется равенством
.
Зная плотность распределения, можно найти функцию распределения .
   Плотность распределения обладает следующими свойствами:
   С в о й с т в о 1. Плотность распределения неотрицательна, т.е. f(x) ≥ 0.
   С в о й с т в о 2. Несобственный `интеграл от плотности распределения в пределах от -∞ до ∞ равен единице: .
   В частности, если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (а, b), то .

262. Дана функция распределения непрерывной случайной величины Х:

Найти плотность распределения f(x).
   Р е ш е н и е. Плотность распределения равна первой производной от функции распределения:
Заметим, что при х = 0 производная F´(x) не существует.

263. Дана функция распределения непрерывной случайной величины Х:
Найти плотность распределения f (x).

264. Непрерывная случайная величина Х задана плотностью распределения f(x) = (3/2)· sin 3x в интервале (0, π/3); вне этого интервала f(x) = 0. Найти вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу ( π/6, π/4 ).
   Р е ш е н и е. Воспользуемся формулой

.
По условию, a = π/6, b = π/4, f(x) = (3/2)·sin 3x. Следовательно, искомая вероятность

265. Непрерывная случайная величина Х в интервале (0, ∞) задана плотностью распределения f (x) = α·e−αx (α > 0); вне этого интервала f(x) = 0. Найти вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (1,2).

266. Плотность распределения непрерывной случайной величины Х в интервале (− π/2, π/2) равна ; вне этого интервала f(x) = 0. Найти вероятность того, что в трех независимых испытаниях Х примет ровно два раза значение, заключенное в интервале (0, π/4).

267. Задана плотность распределения непрерывной случайной величины Х:
Найти функцию распределения F(x).
   Решение. Используем формулу . Если х ≤ 0, то f(x) = 0, следовательно,
.
Если 0 < х ≤ π/2, то
.
Если х > π/2, то
.
Итак, искомая функция распределения

268. Задана плотностью распределения непрерывной случайной величины Х:

Найти функцию распределения F(x).

269. Задана плотностью распределения непрерывной случайной величины Х:
Найти функцию распределения F(x).

270. Задана плотностью распределения непрерывной случайной величины Х:

Найти функцию распределения F(x).

271. Плотность распределения непрерывной случайной величины Х задана на всей оси Ox равенством . Найти постоянный параметр С.
   Р е ш е н и е. Плотность распределения f(x) должна удовлетворять условию
.
Потребуем, чтобы это условие выполнялось для заданной функции:
Отсюда
.                        (*)
Найдем сначала неопределенный интеграл:
+ C.
Затем вычислим несобственный интеграл:
Таким образом,
                        (**)
Подставив (**) в (*), окончательно получим .

272. Плотность распределения непрерывной случайной величины Х задана на всей оси Ox равенством . Найти постоянный параметр С.

273. Плотность распределения непрерывной случайной величины Х в интервале  равна f(x) = C·sin 2x; вне этого интервала f(x) = 0. Найти постоянный параметр С. 

274. Плотность распределения непрерывной случайной величины Х задана в интервале (0, 1) равенством f(x) = C·arctg x; вне этого интервала f(x) = 0. Найти постоянный параметр С.