26. На отрезке L длины 20 см помещен меньший отрезок l длины 10 см. Найти вероятность того, что точка, наудачу поставленная на больший отрезок, попадет также и на меньший отрезок. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения.

28. В круг радиуса R помещен меньший круг радиуса r. Найти вероятность того, что точка, наудачу брошенная в большой круг, попадет также и в малый круг. Предполагается, что вероятность попадания точки в круг пропорциональна площади круга и не зависит от его расположения.

30. На плоскость с нанесенной сеткой квадратов со стороной а наудачу брошена монета радиуса r < a/2. Найти вероятность того, что монета не пересечет ни одной из сторон квадрата. Предполагается, что вероятность попадания точки в плоскую фигуру пропорциональна площади фигуры и не зависит от её расположения.

32. На плоскости начерчены две концентрические окружности, радиусы которых 5 и 10 см соответственно. Найти вероятность того, что точка, брошенная наудачу в большой круг, попадет также и в кольцо, образованное построенными окружностями. Предполагается, что вероятность попадания точки в плоскую фигуру пропорциональна площади этой фигуры и не зависит от ее расположения.

34. Быстро вращающийся диск разделен на четное число равных секторов, попеременно окрашенных в белый и черный цвет. По диску произведен выстрел. Найти вероятность того, что пуля попадет в один из белых секторов. Предполагается, что вероятность попадания пули в плоскую фигуру пропорциональна площади этой фигуры.

35. На отрезке ОА длины L числовой оси Ох наудачу поставлены две точки: В(х) и С(у), причем у ≥ х. (Координата точки С для удобства дальнейшего изложения обозначена через у). Найти вероятность того, что длина отрезка ВС меньше длины отрезка 0В (рис. 1, а). Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине этого отрезка и не зависит от его расположения на числовой оси.
   Р е ш е н и е. Координаты точек В и С должны удовлетворять неравенствам 0 ≤ x ≤ L, 0 ≤ y ≤ L, y ≥ x. Введем в рассмотрение прямоугольную систему координат хОу. В этой системе указанным неравенствам удовлетворяют координаты любой точки, принадлежащей прямоугольному треугольнику ОКМ (рис. 1, б). Таким образом, этот треугольник можно рассматривать как фигуру G, координаты, точек которой представляют соответственно все возможные значения координат точек В и С. Длина отрезка ВС должна быть меньше длины отрезка 0В, т. е. должно иметь место неравенство у - х < х, или у < 2х. Последнее неравенство выполняется для координат тех точек фигуры G (прямоугольного треугольника ОКМ), которые лежат ниже прямой у = 2х (прямая ОN). Как видно из рис. 1, б, все эти точки принадлежат заштрихованному треугольнику ОNМ. Таким образом, этот треугольник можно рассматривать как фигуру g, координаты точек которой являются благоприятствующими интересующему нас событию (длина отрезка ВС меньше длины отрезка 0В).
Искомая вероятность P = Пл. g/Пл. G = Пл. ONM/Пл. OKM = 1/2.

36. На отрезке ОА длины L числовой оси Ох наудачу поставлены две точки В (х) и С (у). Найти вероятность того, что длина отрезка ВС меньше расстояния от точки О до ближайшей к ней точке. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения на числовой оси.

38. На отрезке ОА длины L, числовой оси Ох наудачу поставлены две точки: В (х) и С (у). Найти вероятность того, что длина отрезка ВС окажется меньше, чем L/2. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок, пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения на числовой оси.

39. На отрезке ОА длины L числовой оси Оx наудачу поставлены две точки: В (х) и С (у). Найти вероятность того, что из трех получившихся отрезков можно построить треугольник.
   Р е ш е н и е. Для того чтобы из трех отрезков можно было построить треугольник, каждый из отрезков должен быть меньше суммы двух других. Сумма всех трех отрезков равна L, поэтому каждый из отрезков должен быть меньше L/2. Введем в рассмотрение прямоугольную систему координат хОу. Координаты любых двух точек В и С должны удовлетворять двойным неравенствам: 0 ≤ x ≤ L, 0 ≤ y ≤ L. Этим неравенствам удовлетворяют координаты любой точки М (х, у), принадлежащей квадрату OLDL (рис. 3, а). Таким образом, этот квадрат можно рассматривать как фигуру G, координаты точек представляют все возможные значения координат точек которой В и С.
   1. Пусть точка С расположена правее точки В (рис. 3, б). Как указано выше, длины отрезков 0В, ВС, СА должны быть меньше L/2, т. е. должны иметь место неравенства x > L/2, у - х < L/2, L - у < L/2, или, что то же, x < L/2, у < x + L/2, у < L/2. (*)
   2. Пусть точка С расположена левее точки В (рис. 3, в). В случае должны иметь место неравенства у < L/2, x - y < L/2, L - x < L/2, или, что то же, y < l/2, y > x − L/2, x > L/2. (**)
   Как видно из рис. 3, а, неравенства (*) выполняются для координат точек треугольника ЕFН, а неравенства (**) – для точек треугольника КНМ. Таким образом, заштрихованные треугольники можно рассматривать как фигуру g, координаты точек которой благоприятствуют интересующему нас событию (из трех отрезков можно построить треугольник). Искомая вероятность

41. В сигнализатор поступают сигналы от двух устройств, причем поступление каждого из сигналов равновозможно в любой момент промежутка времени длительностью T. Моменты поступления сигналов независимы один от другого. Сигнализатор срабатывает, если разность между моментами поступления сигналов меньше t (t < T). Найти вероятность того, что сигнализатор срабатывает за время Т, если каждое из устройств пошлет по одному сигналу.
   Решение. Обозначим моменты поступления сигналов первого и второго устройств соответственно через х и y. В силу условия задачи должны выполняться двойные неравенcтва: 0 ≤ x ≤ Т, 0 ≤ y ≤ Т. Введем в рассмотрение прямоугольную систему координат хОу. В этой системе двойным неравенствам удовлетворяют координаты любой точки, принадлежащей квадрату ОТАТ (рис. 4). Таким образом, этот квадрат можно рассматривать как фигуру 0, координаты точек которой представляют все возможные значения моментов поступления сигналов.
   Сигнализатор срабатывает, если разность между моментами поступления сигналов меньше t, т. е. если у - х < t при у > х и х - у < t при х > у, или, что то же,

.

43. Наудачу взяты два положительных числа х и у, каждое из которых не превышает двух. Найти вероятность того, что произведение ху будет не больше единицы, а частное у/х не больше двух.