Локальная теорема Лапласа: Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р, событие наступит ровно k раз (безразлично в какой последовательности) приближённо равна

,

Таблица значений функции φ (x) для положительных значений приведена в приложении 1 (Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике). Для отрицательных значений пользуются чётностью указанной функции.

Интегральная теорема Лапласа. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р, событие наступит не менее k ₁ раз и не более k ₂ раз приближённо равна

З а д а ч а 1. Вероятность всхожести семян данного растения равна 0,75. Найти вероятность того, что из 500 посеянных семян не взойдут 130.

З а д а ч а 2. Вероятность поражения мишени при выстреле равна 0,4. Найти вероятность того, что при 320 выстрелах мишень будет поражена ровно 100 раз.

З а д а ч а 3. Вероятность появления события в каждом из 243 независимых испытаниях постоянна и равна 0,25. Найти вероятность того, что событие появится ровно 70 раз.

З а д а ч а 5. Вероятность того, что при испытании изделие будет испорчено, равна 0,05. Найти вероятность того, что из 100 наудачу выбранных изделий окажутся испорченными а) не менее 5 элементов; б) не более 4 элементов; в) от 5 до 10 элементов.

З а д а ч а 6. Вероятность спроса 41 размера обуви равна 0,2. Найти вероятность того, что из 750 покупателей этот размер обуви будет нужен не более 120 покупателям.

З а д а ч а 7. Учебник издан 100000 тиражом. Вероятность опечатки на страницах книги равна 0,0001. Найти вероятность того, что во всём тираже будет ровно 5 опечаток.

З а д а ч а 8. Левши составляют 1%. Найти вероятность того, что среди наудачу выбранных 200 человек левши будут ровно 4 человека.

• Использовать локальную теорему Лапласа.
• Использовать формулу Пуассона.

З а д а ч а 9. Вероятность того, что автомобиль не будет остановлен на блокпосту, равна 0,2. Найти вероятность того, что из 400 проехавших через блокпост машин на площадку для проверки будет поставлено от 70 до 100 машин.

З а д а ч а 10. Завод отправил на базу 5000 качественных изделий. Вероятность повреждения деталей в пути равна 0,0002. Найти вероятность того, что в пути будет повреждено ровно 3 изделия.

З а д а ч а 11. Завод отправил на базу 5000 качественных изделий. Вероятность повреждения деталей в пути равна 0,0002. Найти вероятность того, что в пути будет повреждено менее 3 изделий.

З а д а ч а 12. Монету бросают 100 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет от 30 до 40 раз.

З а д а ч а 13. Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле равна 0,75. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена не менее 70 и не более 80 раз.

З а д а ч а 14. Вероятность поражения мишени стрелком при выстреле равна 0,75. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена не менее 70 раз.

119. Найти вероятность того, что событие А наступит ровно 70 раз в 243 испытаниях, если вероятность этого события в каждом испытании ровна 0,25.
   Р е ш е н и е. По условию, n = 243; k = 70; p = 0,25; q = 0,75. Так как n = 243 – достаточно большое число, воспользуемся локальной теоремой Лапласа. Где . Найдем значения x: По таблице приложения 1 найдем φ(1,37) = 0,1561. Искомая вероятность

120. Найти вероятность того, что событие А наступит 1400 раз в 2400 испытаниях, если вероятность появления этого события равна 0,6.
   Р е ш е н и е. Так как n велико, воспользуемся локальной теоремой Лапласа:

Вычислим x: Функция – четная, поэтому φ(-1,67) = φ(1,67). По таблице приложения 1 найдем φ (1,67) = 0,0989.

122. Вероятность рождения мальчика равна 0,51. Найти вероятность того, что среди 100 новорожденных окажутся 50 мальчиков.

124. Монета брошена 2N раз. Найти вероятность того, что герб выпадает 2m раз больше, чем надпись.

125. Вероятность появления события в каждом из 100 независимых испытаний постоянна и равна p = 0,8. Найти вероятность того, что событие появится: а) не менее 75 раз и не более 90 раз; б) не менее 75 раз; в) не более 74 раз.
   Р е ш е н и е. Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа: P (k₁; k₂) = Ф(x'') − Ф (x '). Где Ф(x) – функция Лапласа и А) По условию, n = 100; p = 0,8; q = 0,2; k₁ = 75; k₂ = 90; Вычислим x ', x'': Учитывая, что функция Лапласа нечетная, т.е. Ф (− x) = − Ф (x). Получим

По таблице приложения 2 найдем: Ф (2,5) = 0,4938; Ф (1,25 ) = 0,3944. Искомая вероятность P₁₀₀ (75; 90) = 0, 4938 + 0, 3944 = 0, 8882. Б) Требование, чтобы событие появилось не менее 75 раз, означает, что появление события может быть равно 75 либо 76, … , либо 100.Тогда
По исходной таблице приложения 2 найдем Ф(2,5) = 0,4938; Ф (1,25 ) = 0,3944.
Искомая вероятность P₁₀₀ (75; 90) = Ф (5) - Ф (- 1,25) = Ф (5) + Ф (1,25) = 0,5 + 0,3944 = 0,8944. В) событие – А появилось не менее 75 раз и Ā появилось не более 74 раз противоположны, поэтому сумма вероятностей этих событий равна единице. Следовательно, искомая вероятность P₁₀₀ (0; 70) = 1 - P₁₀₀ (75; 90) = 1 - 0,8944 = 0,1056

126. вероятность появления события в каждом из 2100 независимых испытаний равна 0,7. Найти вероятность того, что событие появится в большинстве испытаний: а) не мнее 1470 и не более 1500 раз; б) не менее 1470 раз; в) не более 1469 раз.
   Решение. Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа:

Где Ф(х) - функция Лапласа, А) По условию, n = 2100; p = 0,7; q = 0,3; k₁ = 1470; k₂= 1500; Вычислим x', x'':
P₂₁₀₀ (1470; 1500) = Ф (0) - Ф (1, 43). По таблице приложения 2 найдем: Ф (0)= 0; Ф (1,43)= 0,4236. Искомая вероятность P₂₁₀₀ (1470; 1500) = 0,4236 Б) Требование, чтобы событие появилось не менее 1470 раз, означает, что появление события может быть равно 1470 либо 1471, либо 2100.Тогда По исходной таблице приложения 2 найдем Ф(0)= 0; Ф (5)=0,5. Искомая вероятность P₂₁₀₀ (1470; 1500) = Ф (0) + Ф (5) = 0 + 0,5 = 0, 5 В) событие – А появилось не менее 1500 раз и Ā – появилось не более 1469 раз противоположны, поэтому сумма вероятностей этих событий равна единице. Следовательно, искомая вероятность P₂₁₀₀ (0; 1469) = 1 − P₂₁₀₀ (1500; 2100) = 0,5.

128.Монета брошена 2N раз (велико!). Найти вероятность того, что число выпадений герба будет заключено между числами N − √2N/2 и N + √2N/2.

129.Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,8. Сколько нужно произвести испытаний, чтобы с вероятностью 0,9 можно было ожидать, что событие появится не менее 75 раз?
   Р е ш е н и е. По условию, p = 0,8; q = 0,2; k₁ = 75; k₂ = n; P_n (75; n) = 0, 9.
   Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа: Подставляя данные задачи, получим Или Очевидно, число испытаний n > 75, поэтому Поскольку функция Лапласа – возрастающая и Ф(4) ≈ 0,5, то можно положить Таким образом, .                        (*) По таблице приложения 2 найдем Ф (1,28)= 0,42 Отсюда и из соотношения (*), учитывая, что функция Лапласа нечетная, получим (75 − 0,8 n)/(0,4 √n) = − 1,28. Решив это уравнение, как квадратное относительно √n получим √n = 10. Следовательно, искомое число испытаний n = 100.

130.Вероятность появления положительного результата в каждом из n опытов равна 0,9. Сколько нужно произвести опытов, чтобы с вероятностью 0,98 можно было ожидать, что не менее 150 опытов дадут положительный результат?