Функция надежности

Элементом называют некоторое устройство, независимо от того, «простое» оно или «сложное». Пусть элемент начинает работать в момент времени t₀ = 0, а в момент t происходит отказ. Обозначим через Т непрерывную случайную величину – длительность времени безотказной работы элемента, а через λ - интенсивность отказов (среднее число отказов в единицу времени).
Функцией надежности R (t) называют функцию, определяющую вероятность безотказной работы элемента за время длительностью t: R (t) = e^{- λt}.

367. Длительность времени безотказной работы элемента имеет показательное распределение
F (t) = 1 – e^{- 0,01t} (t > 0). Найти вероятность того, что за время длительностью t = 50 ч: а) элемент откажет;
б) элемент не откажет.
Р е ш е н и е. а) Так как функция распределения F(t) = 1 – e^{- 0,01t} определяет вероятность отказа элемента за время длительностью t, то, подставив t = 50 в функцию распределения, получим вероятность отказа:

F (50) = 1 – e^-0,01ּ50 = 1 – e^-0,5 = 1 – 0,6053 = 0,3935; б) событие «элемент откажет» и «элемент не откажет» – противоположные, поэтому вероятность того, что элемент не откажет P = 1 – 0,394 = 0,606. Этот же результат можно получить не посредственно, пользуясь функцией надежности R(t) = e^{- λt}, которая определяет вероятность безотказной работы элемента за время длительностью t R(50) = e^-0,01ּ50 = e^-0,5= 0,606.

368. Длительность времени безотказной работы элемента имеет показательного распределения F(t) = 1 – e^{- 0,03t}. Найти вероятность того, что за время длительностью t = 100 ч: а) элемент откажет; б) элемент не откажет.
Р е ш е н и е.а) Так как функция распределения F(t) = 1 – e^-0,03t определяет вероятность отказа элемента за время длительностью t, то, подставив t = 100 в функцию распределения получим вероятность отказа: F(100) = 1 – e^-0,03ּ100 = 1 – e^-3 = 0,95. б)событие «элемент откажет» и «элемент не откажет» – противоположные, поэтому вероятность того, что элемент не откажет P = 1 – 0,95 = 0,05.
Этот же результат можно получить не посредственно, пользуясь функцией надежности R(t) = e^{- λt}, которая определяет вероятность безотказной работы элемента за время длительностью t R (100) = e^-0,03ּ100 = e^-3 = 0,05.

369. Испытывают два независимо работающих элемента. Длительность времени безотказной работы первого элемента имеет показательное распределение F₁(t) = 1 – e^-0,02t, второго F₂(t) = 1 – e^-0,05t. Найти вероятность того, что за время длительностью t = 6 ч: а) оба элемента откажут; б) оба элемента не откажут; в) только один элемент откажет; г) хотя бы один элемент откажет.
Р е ш е н и е. а) Вероятность отказа первого элемента

P₁ = F₁(6) = 1 – e^-0,02ּ6 = 1 – e^-0,12 = 1 – 0,887 = 0,113. Вероятность отказа второго элемента P₂ = 1 – e^-0,12 = 1 – 0,741 = 0,259. Искомая вероятность того, что оба элемента откажут, по теореме умножения вероятностей P₁·P₂ = 0,113ּ0,259 = 0,03. б) Вероятность безотказной работы первого элемента q₁ = R₁(6) = e^-0,02ּ6 = e^-0,12 = 0,887. Вероятность безотказной работы второго элемента q₂ = R₂(6) = e^-0,05ּ6 = e^-0,3 = 0,741. Искомая вероятность безотказной работы обоих элементов q₁ּq₂ = 0,887ּ0,741 = 0,66. в) Вероятность того, что откажет только один элемент P₁q₂ + P₂q₁ = 0,113ּ0,741 + 0,259ּ0,887 = 0,31. г) Вероятность того, что хотя бы один элемент откажет P = 1 – q₁q₂ = 1 – 0,66 = 0,34.

370. Испытывают три элемента, которые работают независимо один от другого. Длительность времени безотказной работы элементов распределена по показательному закону: для первого элемента F₁(t) = 1 – e^-0,1t; для второго
F₂(t) = 1 − e^-0,2t, для третьего элемента F₃(t) = 1 – e^-0,03t. Найти вероятность того, что в интервале времени (0, 5) ч откажут: а) только один элемент; б) только два элемента; в) все три элемента.

371. Производится испытание трех элементов, работающих независимо один от другого. Длительность времени безотказной работы элементов распределена по закону: для первого элемента f₁(t) = 0,1e^-0,1, для второго
f₂(t) = 0,3e^-0,3t для третьего элемента f₃(t) = 0,3e^-0,3t. Найти вероятность того, что в интервале времени (0, 10) ч откажут: а) хотя бы один элемент; б) не менее двух элементов.
У к а з а н и е. Воспользоваться результатами, полученными при решение задачи 370.

372. Показательным законом надежности называют функцию надежности, определяемую равенством
R(t) = e^{- λt}, где положительное число λ - интенсивность отказов. Доказать характеристическое свойство показательного закона надежности: вероятность безотказной работы элемента в интервале времени длительностью t не зависит от времени предшествующей работы до начала рассматриваемого интервала, а зависит только от длительности интервала t (при заданной интенсивности отказов λ).
Р е ш е н и е. Введем обозначенное событие: А – безотказная работа элемента в интервале (0, t₀) длительностью t₀: B – безотказная работа элемента в интервале (t₀, t₀ – t) длительностью t. Тогда АВ – безотказная работа в интервале (0, t₀ + t) длительностью t₀ + t. По формуле R(t) = e^{- λt} найдем вероятность этих событий: P(A) = e^{- λt ο}, P(B) = e^{- λt}, P(A B) = e^{- λ(t ο + t)} = e^{- λt ο}· e^{- λt}. Найдем условную вероятность того, что элемент будет работать безотказно в интервале (t₀, t₀ + t) при условии, что он уже проработал безотказно в предшествующем интервале (0, t₀)

. Так как в полученной формуле не содержится t₀, а содержится только t, то это и означает, что время работы в предыдущем интервале не влияет на величину вероятности безотказной работы на последующем интервале, а зависит только от длины t последующего интервала (t₀ + t), что и требовалось доказать.
Другими словами, условная вероятность P_A(B) безотказной работы в интервале времени длительностью t, вычисленная в предположении, что элемент проработал безотказно на предшествующем интервале, равна безусловной вероятности P(B).