Нормальное распределение

Случайная величина X называется нормально распределённой, если её дифференциальная функция имеет вид

, где а – математическое ожидание; σ - среднее квадратическое отклонение.

Вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (α, β), равно

где

- функция Лапласа.

Вероятность того, что абсолютная величина отклонения случайной величины от математического ожидания меньше положительного числа δ равна

. В частности, при а = 0 справедливо равенство

. Асимметрия, эксцесс, мода и медиана нормального распределения соответственно равны: А_s = 0, E_k = 0, M₀ = a, M_e = a, где а = М(Х).

З а д а ч а 1. Случайная величина Х распределена нормально. Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, заключённое в интервале (4; 8), если математическое ожидание этой величины равно 6, а дисперсия равна 2.

A	B	C	D	E
0,4623	0,5846	0,6354	0,6826	0,8414

З а д а ч а 2. Случайная величина распределена нормально. Среднее квадратическое отклонение этой величины равно 0,4. Найти вероятность того, что отклонение случайной величины от её математического ожидания по абсолютной величине будет меньше 0,3.

A	B	C	D	E
0,34568	0,5468	0,4689	0,6987	0,8975

З а д а ч а 3. Случайная величина Х распределена нормально. Математическое ожидание и дисперсия этой величины соответственно равны 30 и 100. Найти вероятность того, что в результате испытания величина Х примет значение, заключённое в интервале (10; 50).

A	B	C	D	E
0.958	0,9544	0.9549	0.872	0.841

З а д а ч а 4. Дисперсия нормально распределённой случайной величины равна 0,16. Найти вероятность того, что отклонение случайной величины от её математического ожидания по абсолютной величине будет меньше 0,3.

A	B	C	D	E
0,1568	0,2456	0,9875	0,6589	0,5468

З а д а ч а 5. Случайная величина распределена нормально. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этой величины равны соответственно М (Х)=5 и σ = 2. Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, заключённое в интервале (1; 10).

A	B	C	D	E
0,971	0,924	0,912	0,892	0,842

З а д а ч а 6. Случайная величина Х распределена нормально. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этой величины равны соответственно М (Х)=20 и σ = 10. Найти вероятность того, что отклонение случайной величины от её математического ожидания по абсолютной величине будет меньше 3.

A	B	C	D	E
0,1987	0,2134	0,2358	0,2681	0,2946

З а д а ч а 7. Математическое ожидание и дисперсия нормально распределённой случайной величины соответственно равно 10 и 2. Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, заключённое в интервале (12; 14).

A	B	C	D	E
0,7359	0,1379	0,0769	0,1359	0,1539

З а д а ч а 8. Математическое ожидание нормально распределённой случайной величины равно 25. Чему равна вероятность того, что Х примет значение, заключённое в интервале (35; 40), если вероятность того, что в результате этого испытания Х примет значение из интервала (10; 15) равна 0,25?

А	В	С	D	E
0,36	0,45	0,15	0,35	0,25

З а д а ч а 9. Математическое ожидание нормально распределённой случайной величины равно 25. Чему равна вероятность того, что Х примет значение, заключённое в интервале (2; 4), если вероятность того, что в результате этого испытания Х примет значение из интервала (15; 35) равна 0,251?
Ответ: 0,0217.

З а д а ч а 10. Деталь, изготовленная автоматом, считается годной, если отклонение её контролируемого размера от проектного не превышает 1 мм. Случайные отклонения контролируемых размеров от проектных подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением 5 и математическим ожиданием а=0. Сколько процентов годных деталей изготавливает автомат.
Ответ:16%.

З а д а ч а 11. Математическое ожидание и дисперсия нормально распределённой случайной величины соответственно равно 3 и 4. Найти вероятность того, что Х случайная величина в результате испытания примет значение, заключённое в интервале (1;7).

A	B	C	D	E
0.8185	0,6254	0,3256	01256	0,7945

З а д а ч а 12. Случайные ошибки измерения подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением σ = 10 и математическим ожиданием а=0. Найти вероятность того, что из двух независимых измерений ошибка хотя бы одного измерения превысит по абсолютной величине 3.

A	B	C	D	E
0,156	0,235	0,6548	0,3698	0,8796

З а д а ч а 13. Случайная величина Х распределена нормально с математическим ожиданием а = 5. Вероятность попадания Х в интервал (5; 10) равна 0,2. Чему равна вероятность попадания Х в интервал (0; 5)?

A	B	C	D	E
1/2	1/3	1/4	1/5	1/6

З а д а ч а 14. Случайные ошибки измерения подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением σ = 10 и математическим ожиданием а = 0. Найти вероятность того, что из двух независимых измерений ошибка хотя бы одного из них не превысит по абсолютной величине 1,28 мм.

A	B	C	D	E
0,196	0,23	0,31	0,33	0,42

З а д а ч а 15. Случайная величина Х распределена нормально. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение Х соответственно равно 20 и 10. Найти вероятность того, что отклонение по абсолютной величине случайной величины от её математического ожидания будет меньше 3.

A	B	C	D	E
0,2358	0,3658	0,4568	0,5689	0,8793

322. Математическое ожидание нормально распределенной случайной величины Х равно а = 3 и среднее квадратическое отклонение σ = 2. Написать плотность вероятности Х.

323. Написать плотность вероятности нормально распределенной случайной величины Х, зная, что М(Х) = 3, D(Х) = 16.

324. Нормально распределенная случайная величина Х задана плотностью . Найти математическое ожидание и дисперсию Х.

325. Доказать, что функция распределения случайной величины, распределённой по нормальному закону, имеет вид

326. Доказать, что параметры а и σ – плотность нормального распределения – являются соответственно математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением Х.
У к а з а н и е. При нахождении М(Х) и D(X) следует ввести новую переменную и использовать интеграл Пуассона .

327. Доказать, что функция Лапласа

нечетна: Ф( − х) = − Ф(х).
У к а з а н и е. Положить z = − t в равенстве

328. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины Х соответственно равны 10 и 2. найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, заключенное в интервале (12, 14).
Р е ш е н и е. Воспользуемся формулой

. Подставив α = 12, β = 14, а = 10, σ = 2, получим P(12 < X < 14) = Ф(2) - Ф(1). По таблице приложения 2 находим: Ф(2) = 0,4772, Ф(1) = 0,3413. Искомая вероятность P(12 < X < 14) = 0,1359.

329. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины Х соответственно равны 20 и 5. Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, заключенное в интервале (15, 25).

330. Автомат штампует детали. Контролируется длина детали Х, которая распределена нормально с математическим ожиданием (проектная длина), равным 50 мм. Фактически длина изготовленных деталей не менее 32 и не более 68 мм. Найти вероятность того, что длина наудачу взятой детали: а) больше 55 мм; б) меньше 40 мм.
У к а з а н и е. Из равенства P(32 < X < 64) = 1 предварительно найти σ.

331. Производится измерение диаметра вала без систематических (одного знака) ошибок. Случайные ошибки измерения Х подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением σ = 10 мм. Найти вероятность того, что измерение будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 15 мм.
Р е ш е н и е. Математическое ожидание случайных ошибок равно нулю, поэтому применима формула

. Положив δ = 15, σ = 10, находим P(| X | < 15) = 2·Ф(1,5). По таблице приложения 2 находим: Ф(1,5) = 0,4332. Искомая вероятность P(| X | < 15) = 2·0,4332 = 0,8664.

332. Производится взвешивание некоторого вещества без систематических ошибок. Случайные ошибки взвешивания подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением σ = 20 г. найти вероятность того, что взвешивание будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 10 г.

333. Случайные ошибки измерения подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением σ = 20 мм и математическим ожиданием а = 0. найти вероятность того, что из трех независимых измерений ошибка хотя бы одного не превзойдет по абсолютной величине 4 мм.

334. Автомат изготавливает шарики. Шарик считается годным, если отклонение Х диаметра шарика от проектного размера по абсолютной величине меньше 0,7 мм. Считая, что случайная величина Х распределена нормально со средним квадратическим отклонением σ = 0,4 мм, найти, сколько в среднем будет годных шариков среди ста изготовленных.
Р е ш е н и е. Так как Х – отклонение (диаметр шарика от проектного размера), то М(Х) = а = 0.
Воспользуемся формулой

. Подставив δ = 0,7, σ = 0,4, получим

. Таким образом, вероятность отклонения, меньшего 0,7 мм, равна 0,92. Отсюда следует, что примерно 92 шарика из 100 окажутся годными.

335. Деталь, изготовленная автоматом, считается годной, если отклонение ее контролируемого размера от проектного не превышает 10 мм. Случайные отклонения контролируемого размера от проектного подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением σ = 5 мм и математическим ожиданием а = 0. Сколько процентов годных деталей изготавливает автомат?

336. Бомбардировщик, пролетевший вдоль моста, длина которого 30 м и ширина 8 м, сбросил бомбы. Случайные величины Х и Y (расстояния от вертикальной и горизонтальной осей симметрии моста до места падения бомбы) независимы и распределены нормально со средними квадратическими отклонениями, соответственно равными 6 и 4 м, и математическими ожиданиями, равными нулю. Найти: а) вероятность попадания в мост одной сброшенной бомбы; б) вероятность разрушения моста, если сброшены две бомбы, причем известно, что для разрушения моста достаточно одного попадания.

337. Случайная величина Х распределена нормально с математическим ожиданием а = 10. Вероятность попадания Х в интервал (10, 20) равна 0,3. Чему равна вероятность попадания Х в интервал (0, 10)?
Решение. Так как нормальная кривая симметрична относительно прямой х = а = 10, то площади, ограниченные свержу нормальной кривой и снизу – интервалами (0, 10) и (10, 20), равны между собой. Поскольку эти площади численно равны вероятностям попадания Х в соответствующий интервал, то P(0 < X < 10) = P(10 < X < 20) = 0,3.

338. Случайная величина Х распределена нормально с математическим ожиданием а = 25. Вероятность попадания Х в интервал (10, 15) равна 0,2. Чему равна вероятность попадания Х в интервал (35, 40)?

339. Доказать, что P(| X - a | < σ·t) = 2·Ф(t), т.е. что значение удвоенной функции Лапласа при заданном t определяет вероятность того, что отклонение Х – а нормально распределенной случайной величины Х по абсолютной величине меньше σt.
У к а з а н и е. Использовать формулу

, положив δ/σ = t.

340. Вывести «правило трех сигм»: вероятность того, что абсолютная величина отклонения нормально распределенной случайной величины будет меньше утроенного среднего квадратичного отклонения, равна 0,9973.
У к а з а н и е. Использовать решение задачи 339, положив t = 3.

341. Случайная величина Х распределена нормально с математическим ожиданием а = 10 и средним квадратическим отклонением σ = 5. найти интервал, симметричный относительно математического ожидания, в который с вероятностью 0,9973 попадет величина Х в результате испытания.

342. Случайная величина Х распределена нормально со средним квадратическим отклонением σ = 5 мм. Найти длину интервала, симметричного относительно математического ожидания, в который с вероятностью 0,9973 попадет Х в результате испытания.

343. Станок-автомат изготовляет валики, причем контролируется их диаметр Х. Считая, что Х – нормально распределенная случайная величина с математическим ожиданием а = 10 мм и средним квадратическим отклонением σ = 0,1 мм, найти интервал, симметричный относительно математического ожидания, в котором с вероятностью 0,9973 будут заключены диаметры изготовленных валиков.

344. Нормально распределенная случайная величина Х задана плотностью

. Найти моду и медиану Х.
Р е ш е н и е. Модой М₀(Х) называют то возможное значение Х, при котором плотность распределения имеет максимум. Легко убедиться, что при х = а производная f'(a) = 0; при х < а производная f' (x) > 0 и f´ (x) < 0, при х > а ; таким образом, точка х = а есть точка максимума, следовательно, М₀(Х) = а.
Медианой М_е(Х) называют то возможное значение Х, при котором ордината f(x) делит пополам площадь, ограниченную кривой распределения. Так как нормальная кривая [график функции f(x)] симметрична относительно прямой х = а, то ордината f(x) делит пополам площадь, ограниченную нормальной кривой. Следовательно, М _е(Х)= а. Итак, мода и медиана нормального распределения совпадают с математическим ожиданием а.

345. Случайная величина Х распределена нормально, причем математическое ожидание а = 0 и среднее квадратическое отклонение равно σ. Найти значение σ, при котором вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (α, β) (α > 0, β > α), будет наибольшей.
У к а з а н и е. Воспользоваться формулой.

; найти σ из уравнения φ' (σ) = 0.