Показательное распределение и его числовые характеристики

   Показательным (экспоненциальным) называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины Х, которое описывается плоскостью
                     (*)
где λ -постоянная положительная величина.
   Функция распределения показательного закона
                     (**)
   Вероятность попадания в интервал (a, b) непрерывной случайной величины X, распределенной по показательному закону,
P(a < Х < b) = e- λa – e- λb.
   Математическое ожидание, дисперсия и средне квадратичное отклонение показательного распределения соответственно равны:
Таким образом, математическое ожидание и средне квадратическое отклонение показательного распределения соответственно равны между собой.

346. Написать плотность и функцию распределения показательного закона, если параметр λ = 5.
   Р е ш е н и е. Подставив λ = 5 в соотношение (*) и (**), получим


347. Написать плотность и функцию распределения показательного закона, если параметр λ = 6.

348. Найти параметр λ показательного распределения:
а) заданного плотностью f(x) = 0 при x < 0, f (x) = 2e-2x при x ≥ 0;
б) заданного функцией распределения F(x) = 0 при x < 0 и F(x) = 1 − e-0,4x при x ≥ 0.

349. Доказать, что если непрерывная случайная величина X распределена по показательному закону, то вероятность попадания X в интервал (a, b) равна e- λa - e- λb.
   Р е ш е н и е. Первый способ. Пусть величина X задана функцией распределения F(x) = 1 − e- λx (x ≥ 0). Тогда вероятность попадания X в интервал (a, b)
P(a < X < b) = F (b) – F (a) = [1 − e-λb] – [1 − e-λa] = e-λa− e-λb.
   Второй способ. Пусть величина X задана плотностью распределения f(x)= λ e- λx (x ≥ 0). В этом случае

350. Непрерывная случайная величина X распределена по показательному закону, заданному плотностью вероятностью f(x) = 3e- 3x при x ≥ 0; при x < 0 f(x) = 0. Найти вероятность того, что в результате испытания X попадает в интервал (0,13, 0,7).
   Р е ш е н и е. Используем формулу

P (a < X < b) = e- λa – e- λb.
Учитывая, что, по условию, а = 0,13, b = 0,7, λ = 3, и пользуясь таблицей значений функции e- x, получим
P (0,13 < X < 0,7) = e- 3ּ0,13 – e- 3ּ0,7 = e- 0,39 – e- 2,1 = 0,677 – 0,122 = 0,555.

351. Непрерывная случайная величина X распределена по касательному закону, заданному при x ≥ 0 плотностью распределения f (x) = 0,04 ּ e-0,04x; при x < 0 функция f(x) = 0. Найти вероятность того, что в результате испытаний X попадает в интервал (1, 2).
   Р е ш е н и е. Используем формулу
P (a < X < b) = e- λa – e- λb.
Учитывая, что, по условию, а = 1, b = 2, λ = 0.04, и пользуясь таблицей значений функции e-λx получим
P(1 < X < 2) = e-0,041 − e-0,042 = 0,038.

352. Непрерывная случайная величина X распределена по показательному закону, заданному функцией распределения F (x) = 1 − e- 0,6x при x ≥ 0; при x < 0 F (x) = 0. Найти вероятность того, что в результате испытания X попадет в интервал (2, 5).

353. Найти математическое ожидание показательного распределения f (x) = λe- λx (x ≥ 0); f (x) = 0 (x < 0).
   Р е ш е н и е. Используем формулу
Учитывая, что f(x) = 0 при x < 0 и f (x) = λe- λx при x ≥ 0, получим
Интегрируя по частям по формуле
положив u = x, dv = e- λxdx и выполнив выкладки, окончательно получим M (X) = 1/λ. Итак, математическое ожидание показательного распределения равно обратной величине параметра λ.

354. Найти математическое ожидание показательного распределения, заданного при x ≥ 0:
а) плотностью f(x) = 5e-5x;
б) функцией распределения F(x) = 1 – e- 0,1x.

355. а) Доказать, что если непрерывная случайная величина распределения по показательному закону, то вероятность того, что X примет значение, меньше математического ожидания M(X), не зависит от величины параметра λ; б) найти вероятность того, что X > M(X).

356. Найти: а) дисперсию; б) средне квадратическое отклонение показательного распределения, заданного плотностью вероятности: f (x) = λe- λx при x ≥ 0; f (x) = 0 при x < 0.
   Р е ш е н и е. а) Используем формулу

Учитывая, что f(x) = 0 при x < 0, M(X) = 1/λ, получим
Интегрируя дважды по частям, найдем
.
Следовательно, искомая дисперсия
,
т.е дисперсия показательного распределения равна величине, обратной λ².
   б) Найдем среднее квадратическое отклонение:
т. e. среднее квадратическое отклонение показательного распределения равно величине, обратной λ.

357. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение показательного распределения, заданного плотностью вероятности f(x) = 10e- 10x (x ≥ 0).

358. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение показательного закона, заданного функцией распределения F(x) = 1 – e- 0,4x (x ≥ 0).

359. Студент помнит, что плотность показательного распределения имеет вид f(x) = 0 при x < 0, f (x) = Ce -λx при x ≥ 0; однако он забыл, чему равна постоянная С. Требуется найти С.
   У к а з а н и е. Использовать свойство плотности распределения:

360. Найти теоретический центральный момент третьего порядка μ3 = M[X – M(X)]3 показательного распределения.
   У к а з а н и е. Использовать решение задач 353 и 356.

361. Найти асимметрию показательного распределения.
У к а з а н и е. Использовать решение задач 356 и 360.

362. Найти теоретический центральный момент четвертого порядка μ4 = M[X – M (X)]4 показательного распределения.

363. Найти эксцесс показательного распределения.

364. Доказать, что непрерывная случайная величина Т – время между появлениями двух последовательных событий простейшего потока с заданной интенсивностью λ – имеет показательное распределение F(t) = 1 – e- λt (t ≥ 0).
   Р е ш е н и е. Предположим, что в момент t0 наступило событие A1 потока. Пусть t1 = t0 + t (рекомендуем для наглядности ось времени и отметить на ней точки t0 и t1). Если хотя бы одно событие потока, следующие за событием A1 произойдет в интервале, заключенном внутри интервала (t0, t1) например, в интервале (t0, t2), то время Т между появлениями двух последовательных событий окажется меньшим t, т.е. окажется, что Т < t. Для того чтобы найти вероятность P(T < t), примем во внимание, что событие – «внутри интервала (t0, t1) появилось хотя бы одно событие потока» и «внутри интервала (t0, t1) не появилось ни одного события потока» - противоположны (сумма их вероятностей равна единице).
   Вероятность непоявления за время t ни одного события потока

Следовательно, интересующая нас вероятность противоположного события P(T < t) = 1 – e- λt, или [ по определению функции распределения F (t) = P(T < t) ] имеет F(t) = 1 − e- λt, что и требовалось доказать.

365. Задана интенсивность простейшего потока λ = 5. Найти: а) математическое ожидание; б) дисперсию; в) среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины Т - времени между появлениями двух последовательных событий потока.
У к а з а н и е. Использовать решение задачи 364.

366. На шоссе установлен контрольный пункт для проверки технического состояния автомобилей. Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины Т- времени ожидания очередной машины контролером, если поток машин простейший и время (в часах) между прохождениями машин через контрольный пункт распределено по показательному закону f(t) = 5e-5t.
У к а з а н и е. Время ожидание машины контролером и время прохождения через контрольный пункт распределены одинаково.