З а д а ч а 1.Имеется 10 кусков металла. Среди них 4 красного цвета. Наудачу выбрано 3 куска. Найти вероятность того, что среди выбранных кусков хотя бы один был красного цвета.

З а д а ч а 2. Среди 15 рабочих 5 женщин. В избирательную комиссию наудачу выбрано 3 человека. Найти вероятность того, что среди них есть хотя бы одна женщина.

З а д а ч а 3. Студент ищет необходимую ему книгу в трёх магазинах. Вероятность того, что книга имеется в первом магазине, равна 0,6; во втором 0,7, в третьем магазине 0,8. Найти вероятность того, что книга находится

1. Только в одном магазине.
2. Только в двух магазинах.
3. Во всех трёх магазинах.

З а д а ч а 4. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность того, что цель будет поражена первым стрелком, равна 0,9; для второго стрелка эта вероятность равна 0,6. Найти вероятность того, что при залпе цель будет поражена только одним стрелком.

З а д а ч а 5. Комиссия состоит из шести человек, среди которых три женщины. Наудачу выбраны два человека. Найти вероятность того, что из выбранных двое мужчин.

З а д а ч а 6. В группе 10 студентов. Из них 3 отличника. Найти вероятность того, что из вызванных наудачу 3 студентов нет отличников.

З а д а ч а 7. Из 30 вопросов программы студент знает 20 вопросов. Найти вероятность того, что студент может ответить на заданные экзаменатором 3 вопроса.

A	B	C	D	E

З а д а ч а 8. В ящике имеется 200 деталей. Из них 150 деталей первого сорта, 30 деталей второго сорта, 16 деталей третьего сорта, 4 детали бракованные. Найти вероятность того, что наудачу выбранная деталь окажется первого или второго сорта.

З а д а ч а 9. 20% преступников, сидящих в камере, совершили тяжкие преступления, остальные менее тяжкие. Наудачу выбрано 2 преступника. Найти вероятность того, что из двух выбранных преступников один окажется совершившим тяжкое преступление, другой менее тяжкое.

З а д а ч а 10. В семье трое детей. Принимая вероятность рождения мальчика или девочки равными, найти вероятность того, что все три ребёнка окажутся мальчиками.

З а д а ч а 11. Вероятность поражения цели первым стрелком при одном выстреле равна 0,8, а вторым стрелком 0,6. Найти вероятность того, что при одном залпе цель будет поражена только одним стрелком.

З а д а ч а 12. Вероятность того, что событие А появится хотя бы один раз при двух независимых испытаниях равна 0,75. Найти вероятность появления события в одном испытании, предполагая, что вероятность появления события в обоих испытаниях одна и та же.

З а д а ч а 13.Предприятие изготавливает 95% изделий стандартных, причём из них 86% первого сорта. Найти вероятность того, что взятое наудачу изделие, изготовленное на этом предприятии, окажется первого сорта.

З а д а ч а 14. Брошены монета и игральная кость. Найти вероятность совмещения событий "появился герб", "появилось 6 очков".

A	B	C	D	E

З а д а ч а 15. Вероятность попадания в цель при стрельбе из первого и второго орудия соответственно равны 0,7 и 0,8. Найти вероятность попадания при одном залпе из обоих орудий хотя бы одним орудием.

З а д а ч а 16. Известны вероятности событий А, В, АВ. Найти вероятность события P (A B) и условную вероятность P_Ā (B).

46. На стеллаже библиотеки в случайном порядке расставлено 15 учебников, причем пять из них в переплете. Библиотекарь берет наудачу три учебника. Найти вероятность того, что хотя бы один из взятых учебников окажется в переплете (событие A).
   Р е ш е н и е. Первый способ. Требование – хотя бы один из трех взятых учебников в переплете – будет осуществлено, если произойдет любое из следующих трех несовместных событий: В – один учебник в переплете, С – два учебника в переплете, D – три учебника в переплете.
   Интересующее нас событие А можно представить в виде суммы событий: А = В + С + D. По теореме сложения,

Найдем вероятности событий В, С и D : , , . Подставив эти вероятности в равенство (*), окончательно получим       Второй способ. События А (хотя бы один из взятых трех учебников имеет переплет) и A (ни один из взятых учебников не имеет переплета) – противоположные, поэтому Р (А) + Р (Ā) = 1 (сумма вероятностей двух противоположных событий раина единице). Отсюда Р (А) = 1 − Р (Ā) . Вероятность появления события A (ни один из взятых учебников не имеет переплета) Искомая вероятность .

48. Доказать, что если событие А влечет за собой событие В, то P (B) ≥ P (A).
   Р е ш е н и е. Событие В можно представить в виде суммы несовместных событий А и ĀВ:

50. Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сигнализатор сработает, равна 0,95 для первого сигнализатора и 0,9 для второго. Найти вероятность того, что при аварии сработает только один сигнализатор.
Ответ. p = 0,14.

52. Вероятность одного попадания в цель при одном залпе из двух орудий равна 0,38. Найти вероятность поражения цели при одном выстреле первым из орудий, если известно, что для второго орудия эта вероятность равна 0,8.
Ответ. p = 0,7.

54. Вероятность того, что при одном измерении некоторой физической величины будет допущена ошибка, превышающая заданную точность, равна 0,4. Произведены три независимых измерения. Найти вероятность того, что только в одном из них допущенная ошибка превысит заданную точность.
Ответ. p = 0,432.

56. Устройство состоит из трех элементов, работающих независимо. Вероятности безотказной работы (за время t) первого, второго и третьего элементов соответственно равны 0,6; 0,7; 0,8. Найти вероятности того, что за время t безотказно будут работать: а) только один элемент; б) только два элемента; в) все три элемента.

58. Брошены три игральные кости. Найти вероятности следующих событий; а) на каждой из выпавших граней появится пять очков; б) на всех выпавших гранях появится одинаковое число очков.

60. Сколько надо бросить игральных костей, чтобы с вероятностью, меньшей 0,3, можно было ожидать, что ни на одной из выпавших граней не появится шесть очков?
   Р е ш е н и е. Введем обозначения событий: А - ни на одной из выпавших гранен не появится 6 очков; А _i – на выпавшей грани i - й кости (i = 1, 2,…, n) не появится 6 очков.
   Интересующее нас событие A состоит в совмещении событий А₁, А₂, …, А_n, т. е. A = A₁A₂ …А_n. Вероятность того, что на любой выпавшей грани появится число очков, не равное шести, равна Р (А _i) = 5/6. События А _i; независимы в совокупности, поэтому применима теорема умножения:

62. В круг радиуса R вписан правильный треугольник. Внутрь круга наудачу брошены четыре точки. Найти вероятности следующих событий: а) все четыре точки попадут внутрь треугольника; б) одна точка попадет внутрь треугольника и по одной точке попадет на каждый "малый" сегмент. Предполагается, что вероятность попадания точки в фигуру пропорциональна площади фигуры и не зависит от ее расположения.

64. В читальном зале имеется шесть учебников по теории вероятностей, из которых три в переплете. Библиотекарь наудачу взял два учебника. Найти вероятность того, что оба учебника окажутся в переплете.
   Р е ш е н и е. Введем обозначения событий: A – первый взятый учебник имеет переплет, В – второй учебник имеет переплет. Вероятность того, что первый учебник имеет переплет, Р (А) = 3/6 = ½.
   Вероятность того, что второй учебник имеет переплет, при условии, что первый взятый учебник был в переплете, т. е. условная вероятность события В, такова: Р_A (В) =2/5.
   Искомая вероятность того, что оба учебника имеют переплет, по теореме умножения вероятностей событий равна

66. В цехе работают семь мужчин и три женщины. По табельным номерам наудачу отобраны три человека. Найти вероятность того, что все отобранные лица окажутся мужчинами.
   Р е ш е н и е. Введем обозначения событий: A – первым отобран мужчина; В – вторым отобран мужчина, С – третьим отобран мужчина. Вероятность того, что первым будет отобран мужчина, P (A) = 7/10.
   Вероятность того, что вторым отобран мужчина, при условии, что первым уже был отобран мужчина, т. е. условная вероятность события В следующая: P_A (В) = 6/9 = 2/3.
   Вероятность того, что третьим будет отобран мужчина, при условии, что уже отобраны двое мужчин, т. е. условная вероятность события С такова: P_AB (С) = 5/8. Искомая вероятность того, что все три отобранных лица окажутся мужчинами,

68. В урне имеется пять шаров с номерами от 1 до 5. Наудачу по одному извлекают три шара без возвращения. Найти вероятности следующих событий: а) последовательно появятся шары с номерами 1, 4, 5; б) извлеченные шары будут иметь номера 1, 4, 5 независимо от того, в какой последовательности они появились.

70. В мешочке содержится 10 одинаковых кубиков с номерами от 1 до 10. Наудачу извлекают по одному три кубика. Найти вероятность того, что последовательно появятся кубики с номерами 1, 2, 3, если кубики извлекаются: а) без возвращения; б) с возвращением (извлеченный кубик возвращается в мешочек).

71. По данным переписи населения (1891 г.) Англии и Уэльса установлено: темноглазые отцы и темноглазые сыновья (АВ) составили 5% обследованных лиц, темноглазые отцы и светлоглазые сыновья ( A B) – 7,9%, светлоглазые отцы и темноглазые сыновья (ĀВ) – 8,9%, светлоглазые отцы и светлоглазые сыновья (Ā B) – 78,2%, Найти связь между цветом глаз отца и сына.
   Р е ш е н и е. По условию, Р (АВ) = 0,05; P (A B) = 0,079; Р (Ā В) = 0,089; Р (Ā B) = 0,782.
Найдем условную вероятность того, что сын темноглазый, если отец темноглазый: Найдем условную вероятность того, что сын светлоглазый, если отец темноглазый: P_A(B) = 1 − P_A (B) = 1 − 0,39 = 0,61. Найдем условную вероятность того, что сын темноглазый, если отец светлоглазый: Найдем условную вероятность того, что сын светлоглазый, если отец светлоглазый: P_Ā (B) = P_Ā (B) = 1 − 0,102 = 0,898.

72. Найти вероятность P (A) по данным вероятностям:

74. Найти вероятность P (Ā B) по данным вероятностям: P (A) = a, P (B) = b, P (A + B) = c.
   Р е ш е н и е. Используя тождество P (B) = P (A B) + P (Ā B), найдем P (Ā B):

76. Доказать, что

.

Подставив (**) в (*), получим P (A) + 1 − P (B) − P (A)·P_A(B) ≤ 1, или P (A)·P_A(B) ≥ P (A) − P (B). Разделив обе части неравенства на положительное число Р (А), окончательно имеем .

77. Наступление события АВС необходимо влечет наступление события D. Доказать, что Р(А) + Р(В) + Р (С) − Р (D) ≤ 2.    Р е ш е н и е. По условию, наступление события AВС необходимо влечет наступление события D, следовательно (см. задачу 48), Р (D) ≥ P (AВС). Таким образом, если будет доказано неравенство Р(А) + P (B) + P (C) − P (AВC) ≤ 2,                        (*) то будет справедливо и неравенство, указанное в условии задачи.
   Докажем неравенство (*). Воспользуемся тождествами:                         (**) Из трех событий А, В, С можно составить следующую полную группу "сложных событий", состоящих из появлений и непоявлений рассматриваемых трех событий:
АВС – появились все три события,
ĀBC, ABC, ABC – появились два события, а третье не появилось,
ĀBC, ĀBC, AB C – появилось одно событие, а два других не появились,
Ā B C – не появились все три события.
   Сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице, поэтому Отсюда        (***) Подставив (**) в (*) и используя (***), после упрощений получим Учитывая, что каждое слагаемое в квадратной скобке неотрицательно, окончательно получим Р(А) + P (B) − Р (С) − P (D) ≤ 2.

78. Вывести теорему сложения вероятностей для трех совместных событий:

79. Даны три попарно независимых события A, В, С, которые, однако, все три вместе произойти не могут. Предполагая, что все они имеют одну и ту же вероятность р, найти наибольшее возможное значение р.
   Р е ш е н и е. Первый способ. По условию P (AВС) = 0, P (Ā) = P (B) = P (C) = 1 − p, P (AВ) = P (A)·P (В) = р², P (AC) = р², P (ВC) = р². Найдем вероятности каждого из следующих событий, образующих полную группу: A B C, B Ā C, С Ā B, AB C, AC B, BC Ā, ABC, Ā B C. Для того чтобы найти вероятность события ABC, представим событие АВ в виде суммы двух несовместных событий: AB = ABC + ABC. По теореме сложения P (AB) = P (ABC) + P (ABC). Отсюда P (ABC) = P (AB) − P (ABC) = p². Аналогично найдем P (ACB) = P (BCĀ ) = p². Для того чтобы найти вероятность события A B C, представим событие AB в виде суммы двух несовместных событий: AB = A B C + A B C. По теореме сложения P (AB) = P (A B C) + P (A B C). Отсюда P (A B C) = P (A B) − P (A B C) = p (1 − p) − p² = p − 2 p². Аналогично найдем P (B Ā C) = P (C Ā B) = p − 2 p². Найдем вероятность события Ā B C; для этого достаточно вычесть из единицы сумму вероятностен остальных событий, образующих полную группу: P (Ā B C) = 1 − (3(p − 2 p²) + 3 p²) = 3p² − 3 p + 1. Учитывая, что любая вероятность заключена между нулем и единицей, потребуем, чтобы все найденные вероятности удовлетворяли этому условию: .                        (*) Решив каждое из неравенств системы, найдем соответственно: 0 ≤ р ≤ 1, 0 ≤ p ≤ 1/2, 0 ≤ p ≤ 1. Таким образом, наибольшее возможное значение р, которое удовлетворяет всем трем неравенствам системы (*), равно 1/2.
   Второй способ. Введем обозначение Р (А + В + С) = k. Пользуясь теоремой сложения для трех совместных событий и учитывая, что Р (А) = Р(В) = Р(С) = р, Р (АВ) = Р (АС) = Р(ВС) = р², Р (АВС) = 0, получим k = Р (А) + Р (В) + Р (С) − Р (АВ) − Р(АС) - Р(ВС) + Р(АВС) = Зр - Зр². Решив это уравнение относительно р, получим . Если , то p достигает максимального значения р = 1/2 (при k = 3/4).
   Если , то, на первый взгляд, р ≥ 1/2. Покажем, что допущение p > 1/2 приводит к противоречию. Действительно, р > 1/2 при условии, что 1 − 4k/3 > 0, или, так как k = 3р − Зp², при условии, что р² − p + 1/4 > 0. Отсюда . Итак, наибольшее возможное значение р = 1/2.