Величина называется случайной, если в процессе опытов она может принимать те или иные значения в зависимости от обстоятельств.

Случайная величина называется дискретной, если множество ей значений конечно или счётно.

Законом распределения дискретной случайной величины называется задание соответствия множеству значений случайной величины соответствующих им вероятностей:

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех её возможных значений на соответствующие их вероятности:

.

Дисперсией дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания:

Средним квадратическим отклонением случайной величины Х называют корень квадратный из дисперсии:

З а д а ч а 1. Случайная величина Х принимает  два возможных значения: х ₁ = 1 и х ₂ = − 1 с вероятностью 0,5. Найти дисперсию этой случайной величины.

З а д а ч а 2. Найти дисперсию случайной величины Х - числа появления событий в двух независимых испытаниях, если известно математическое ожидание дискретной случайной величины М(Х) = 0,8.

З а д а ч а 3. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения.

Найти среднеквадратическое отклонение этой случайной величины.

З а д а ч а 4. Дисперсия случайной величины равна 5. Найти дисперсию случайных величин: а) Х-1; б) –3Х; в) 8Х+6.

З а д а ч а 5. Найти математическое ожидание произведения числа очков, которые могут выпасть при одном бросании двух игральных костей.

З а д а ч а 6. Х и У – дискретные независимые случайные величины, заданные законом распределения

З а д а ч а 7. В урне имеется пять шаров, из которых 2 белых и 3 чёрных. Наудачу извлекли два шара. Найти математическое ожидание и дисперсию величины Х – числа появления белых шаров среди двух отобранных.

З а д а ч а 8. В партии 10 деталей, среди которых содержится 3 нестандартных. Наудачу отобраны 2 детали. Найти математическое ожидание дискретной случайной величины Х – числа нестандартных деталей среди двух отобранных.

З а д а ч а 9. Геолог, возвращаясь с поля, взял шесть образцов минералов. В составе четырёх имеется разыскиваемая смесь металла. Наудачу отобраны три образца. Найти среднее квадратическое отклонение случайной величины Х – числа образцов, содержащих разыскиваемую смесь металла.

З а д а ч а 10. Дискретная случайная величина Х принимает два возможных значения: х₁ с вероятностью р₁ = 0,2 и х₂ с вероятностью р₂. Известно, что М (Х) = 2,6 и среднеквадратическое отклонение σ(Х) = 0,8. Найти значения х₁ и х₂ случайной величины Х.

З а д а ч а 11. Найти математическое ожидание суммы Х + У числа очков, которые могут выпасть при одном бросании двух игральных костей.

З а д а ч а 12. Вероятность отказа детали за время испытания на надёжность равна 0,3. Найти математическое ожидание числа отказавших деталей, если испытаниям будут подвергнуты 20 деталей.

З а д а ч а 13. Производится 10 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события равна 0,4. Найти дисперсию случайной величины Х – числа появления события при этих испытаниях.

З а д а ч а 14. Найти дисперсию случайной величины Х – числа появления события в 100 независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность наступления события равна 0,7.

З а д а ч а 15. Найти дисперсию дискретной случайной величины Х, заданной законом распределения

204. Дискретная случайная величина X принимает k положительных значений x₁, х₂, …, x_k c вероятностями, равными соответственно p₁, р₂, …, p_k. Предполагая, что возможные значения записаны в возрастающем порядке, доказать, что

Р е ш е н и е. Принимая во внимание, что и , получим . Так как по условию возможные значения X записаны в возрастающем порядке, т. е x_i < x_k (i = 1, 2, …, k - 1), то и Следовательно, .

205. Доказать, что если случайные величины X₁, X₂, … Х_n независимы, положительны и одинаково распределены, то .    Р е ш е н и е. Введем в рассмотрение случайные величины                         (*) Заметим, что знаменатели этих дробей не могут быть равными нулю, поскольку величины X_i (i = 1, 2, …, n) положительны.
   По условию, величины X_i одинаково распределены, поэтому и величины Y_n также одинаково распределены и, следовательно, имеют одинаковые числовые характеристики, в частности, одинаковые математические ожидания: M (Y₁) = M (Y₂) = … = М (Y_n).                        (**) Легко видеть, что Y₁ + Y₂ + … Y_n = 1, следовательно, M (Y₁ + Y₂ + … + Y_n) = M (1) = 1. Математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий слагаемых, поэтому M (Y₁) + M (Y₂)+ … + М (Y_n) = 1. В силу (**) имеем n·М (Y₁) = 1. Отсюда М (Y₁) = 1/n. Учитывая (*), окончательно получим .

206. Доказать, что если случайные величины Х₁, Х₂, Х₃, Х₄, Х₅ независимы, положительны и одинаково распределены, то

.

207. Найти математическое ожидание дискретной случайной величины X, распределенной по закону Пуассона:    Р е ш е н и е. По определению математического ожидания для случая, когда число возможных значений X есть счетное множество, . Учитывая, что при k = 0 первый член суммы равен нулю, примем в качестве наименьшего значения k единицу: Положив k − l = m, получим Принимая во внимание, что = e ^λ, окончательно имеем M (X) = λ·e ^{- λ}·e ^λ = λ. Итак, М (Х) = λ, т. е. математическое ожидание распределения Пуассона равно параметру этого распределения λ.

208. Случайные величины X и Y независимы. Найти дисперсию случайной величины Z = 3X + 2Y, если известно, что D (X) = 5, D (Y) = 6.
   Р е ш е н и е. Так как величины X и Y независимы, то независимы также и величины ЗХ и 2Y. Используя свойства дисперсий (дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых; постоянный множитель можно вынести за дисперсии, возведя его в квадрат), получим

210. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины X, заданной законом распределения:

212. Дискретная случайная величина X имеет только два возможных значения х₁ и x₂, причем равновероятных. Доказать, что дисперсия величины X равна квадрату полуразности возможных значений:

.

.