П р и м е р 1. Из ящика, содержащего 6 белых и 4 красных шара, вынимают один за одним 3 шара. Какова вероятность вынуть 3 белых шара, если:

a) шары после испытания обратно в ящик не попадают;

b) шары после испытания возвращаются обратно в ящик.

Р е ш е н и е. Введём обозначение событий:

А — появление белого шара при первом вынимание.

В — появление белого шара при втором вынимание.

С — появление белого шара при третьем вынимание.

П р и м е р 2. Вероятность попадания в мишень для стрелка p = 0,8.Стрелок производит 3 выстрела. Определить вероятность:

a) трёх попаданий;

b) одного попадания;

c) хотя бы одного попадания.

Р е ш е н и е. Воспользуемся формулой Бернулли

.

а) n = 3, p = 0,8, q = 0,2, k = 3

b) n = 3, p = 0,8, q = 0,2, k = 1

.

c) P(A) = 1 − q³ = 1 − 0,008 = 0,992.

О т в е т. а) 0,512; b) 0,096; c) 0,992.

П р и м е р 3. Два стрелка стреляют по очереди до попадания в мишень, но не свыше двух выстрелов каждый. Вероятность поражения мишени при каждом выстреле равна 0,6. Какова вероятность того, что мишень будет поражена первым стрелком.

Р е ш е н и е. Введём обозначение событий:
А₁ — первый стрелок попал в мишень, вероятность этого события равна 0,6.
Ā₁ — первый стрелок не попал в цель, вероятность этого события равна 0,4.
А₂ — второй стрелок попал в мишень, вероятность этого события равна 0,6.
Ā₂ — второй стрелок не попал в мишень, вероятность этого события равна 0,4.
В₁ — мишень будет поражена первым стрелком.
По условию задачи B₁ = Ā₁·Ā₂ + A₁·Ā₂. Воспользовавшись теоремой сложения и умножения вероятностей независимых событий, получим

П р и м е р 4. В ящике имеются 10 шаров с цифрами 1 и 2. Цифра, стоящая на вынутом наугад шаре, есть случайная величина, математическое ожидание которой равно 1,4. Сколько шаров с цифрой 1 имеется в ящике.

Р е ш е н и е. По условию задачи n = 10, M = 1,4. Закон распределения случайной величины X – цифры на шаре (если n ₁; n ₂ — число шаров с цифрами 1 и 2 соответственно):

X	1	2
p

X	1	2
p

,

П р и м е р 4. Вероятность того, что какая-нибудь наугад взятая деталь изготовлена на данном станке, равна 0,6. Требуется:

а)составить закон распределения случайной величины, равной числу деталей, изготовленных на данном станке, из пяти произвольно взятых деталей;

б) найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение этой случайной величины.

Р е ш е н и е. По условию задачи р = 0,6; q = 1 – p = 0,4. По формуле Бернулли

; ;
; ;
; .

Для биноминального распределения найдём числовые характеристики

П р и м е р 5. Рабочий обслуживает 3 станка, работающих независимо друг от друга. Вероятность того, что в течение часа первый станок потребует внимания рабочего, равна 0,9: для второго 0,8: для третьего 0,85. Какова вероятность того, что в течение часа:

а) ни один станок не потребует внимания рабочего;

b) все три станка потребуют внимания рабочего;

c) какой- нибудь один станок потребует внимания рабочего;

d) хотя бы один станок потребует внимания рабочего?

Р е ш е н и е. Ни один станок не потребует внимания рабочего. Для решения этой задачи введём события: А ₁ = {в течение часа первый станок потребует внимания рабочего}; А ₂ = {в течение часа второй станок потребует внимания рабочего}; А ₃ = {в течение часа третий станок потребует внимания рабочего}; В = {в течение часа ни один станок не потребует внима­ния рабочего}. Тогда B = Ā₁·Ā₂·Ā₃, где Ā₁ = {в течение часа первый станок не потребует внимания рабочего}; Ā₂ = {в течение часа второй станок не потребует внимания рабочего}; Ā₃ = {в течение часа третий станок не потребует внимания рабочего}; P (Ā₁) = 1 − 0,9 = 0,1; P (Ā₂) = 1 − 0,8 = 0,2, P (Ā₃) = 1 − 0,85 = 0,15. По теореме умножения вероятностей независимых событий имеем

Все три станка потребуют внимания рабочего. В этом случае С = {в течение часа все станки потребуют внимания рабочего} и С = (А₁).(А₂).(А₃). Р(С) = Р(А ₁)·Р( А ₂)·Р ( А₃) = 0,9·0,8·0,85=0,612.

Какой-нибудь один станок потребует внимания рабочего. Обозначим это событие через Е, и в этом случае

Хотя бы один станок потребует внимания рабочего. Это событие является противоположным событию В, обозначим его через B. Тогда P (B) = 1 − P (B) = 1 − 0,003 = 0,997.

П р и м е р 6. В магазин поступили электролампы, произведенные двумя заводами. Среди них 70% изготовлены первым заводом, а остальные -вторым. Известно, что 3% ламп первого завода и 5% ламп второго завода не удовлетворяют стандарту. Какова вероятность что, взятая наудачу лампа будет стандартной?

Р е ш е н и е. Введём гипотезы Н ₁ = {наудачу выбранная лампа первого завода}; Н ₂ = {наудачу выбранная лампа второго завода}; Н ₃ = {наудачу выбранная лампа третьего завода}. Введём обозначение интересующего нас события: А = {взятая наудачу лампа будет стандартной}. Воспользуемся формулой полной вероятности:

Р(Н ₁) = 0,7; Р(Н₂) = 0,3;

П р и м е р 7. Три машинистки печатали рукопись. Первая напечатала 1/3 всей рукописи, вторая 1/4, остальную часть напечатала третья машинистка. Вероятность того, что первая машинистка сделает ошибку, равна 0,15; вторая 0,1; третья 0,1. При проверке была обнаружена ошибка. Найти вероятность того, что ошибка допущена первой машинисткой?

Р е ш е н и е. Воспользуемся формулой Байеса. Введём гипотезы: Н ₁ = {работу выполняла первая машинистка}, Н ₂ = {работу выполняла вторая машинистка}, Н ₃={работу выполняла третья машинистка}. Введём обозначение события А = {допущена ошибка}. По условию задачи имеем

, , , , , .

П р и м е р 8. Среди изделий, произведенном на станке-автомате, в среднем бывает 90% изделий первого сорта. Какова вероятность того, что среди пяти наудачу выбранных изделий будет не менее четырех изделий первого сорта?

Р е ш е н и е. Воспользуемся формулой Бернулли для подсчёта искомой вероятности:

.

П р и м е р 9. Вероятность того, что пара обуви, взятая наудачу из изготовленной партии, окажется первого сорта, равна 0,7. Определить вероятность того, что среди 2100 пар, поступающих на контроль, число пар первосортной обуви окажется не менее 1000 и не более 1500.

Р е ш е н и е. Воспользуемся интегральной формулой Лапласа:

; .

P (m₁ ≤ n ≤ m₂) ≈ Ф (t₂) − Ф (t₁) = 0,42365 + 0,5 = 0,92365.

П р и м е р 10. Вероятность рождения мальчика р = 0,515. Какова вероятность, что из 1000 рождающихся детей мальчиков будет 520?

Р е ш е н и е. Используем дифференциальную теорему Лапласа.

.

П р и м е р 11. Каждый из двух стрелков делает по два выстрела по мишени, вероятность попадания, в которую для первого стрелка - 0,8, для второго - 0,9. Составить закон распределения общего числа попаданий. Определить математическое ожидание и дисперсию числа попаданий.

Р е ш е н и е.Пусть Х - число попаданий первым стрелком при двух выстрелах, Y - число попаданий вторым стрелком при двух выстрелах. Тогда закон распределения вероятностей случайной величины Х определится таблицей:

П р и м е р 12.Написать выражения функции распределения случайной величины у = ax + b для заданного ряда распределения случайной величины х и значений параметров a и b.

Р е ш е н и е. Так как Р(а·х + b = p _i) = Р(х = p_i), то меняются принимаемые случайной величиной значения, а вероятности остаются без изменения. Поэтому у _i = 3·х _i + 2

П р и м е р 13.Случайная непрерывная величина задана интегральной функцией F(x)

а) значение параметра а;

b) дифференциальную функцию f (x);

с) математическое ожидание и дисперсию случайной величины х;

d) построить графики функций F(x) и f (x);

e) вероятность того, что случайная величина х попадает в интервал (− 1; 4).

Р е ш е н и е. Так как интегральная и дифференциальная функции распределения связаны соотношением F' (x) = f (x), то

;
.

П р и м е р 14.В урне имеется 10 деталей, из них 8 стандартные детали. Найти вероятность того, что из двух наугад выбранных деталей хотя бы одна будет стандартной.

Р е ш е н и е. События А = {Из выбранных деталей хотя бы одна является стандартной} и Ā = {Из выбранных деталей ни одна не является стандартной} – два противоположных события. Используя связь вероятностей двух противоположных событий P (A) + P (Ā) = 1, найдём P (A). Восемь деталей из десяти можно выбрать способами. Так как количество нестандартных деталей равно двум, то вероятность того, что нет ни одной стандартной детали, будет равна

.

.

П р и м е р 15. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле первым стрелком равна 0.8, а вторым стрелком – 0.6. Найти вероятность попадания в мишень только одним стрелком.

Р е ш е н и е. Введём обозначения событий Пусть A₁ = {первый стрелок попал в цель}, Пусть A₂ = { второй стрелок попал в цель}, В = {только один стрелок попал в цель}. Тогда, пользуясь алгеброй событий, имеем

П р и м е р 16. Прядильщица обслуживает 1000 веретён. Вероятность обрыва нити на одном веретене в течение одной минуты равна 0,004. Найти вероятность того, что в течении одной минуты обрыв произойдет на пяти веретенах.

Р е ш е н и е. По условию n = 100, р = 0,004, k = 5. Находим λ = n·p = 100·0,004 = 4. По закону распределения Пуассона

.

П р и м е р 17. Случайная величина Х распределена нормально. Среднее квадратичное отклонение этой величины равно 0,4. Найти вероятность того, что отклонение случайной величины от её математического ожидания по абсолютной величине будет меньше 0,3.

Р е ш е н и е. Используя формулу

,