П р и м е р13

«К содержанию практической части задания

НА ГЛАВНУЮ СТРАНИЦУ БИБЛИОТЕКИ

П р и м е р 1
П р и м е р 2
П р и м е р 3

П р и м е р 1. В течение 100 суток наблюдалось прибытие железнодорожных составов с углём на станцию для разгрузки. Результаты наблюдений сведены в таблицу: в первой строке указано число составов х _i, прибывших в одни сутки, во второй строке — частота n_i этого события, то есть число суток, в которые прибыло ровно x_i составов.

x _i	0	1	2	3	4	5	6	7
n _i	0	11	19	22	19	13	10	4

При уровне значимости 0,05 проверить гипотезу о том, что число составов Х, прибывших в течение суток, распределено по закону Пуассона. Использовать критерий согласия Пирсона (χ ²).

Р е ш е н и е. Имеем , k = 8 — число разрядов, на которые разбит статистический материал, α = 0,05. Находим выборочную среднюю:

. Примем в качестве оценки параметра λ распределения Пуассона выборочную среднюю λ = x_в ≈ 3,5. Тогда предполагаемый закон Пуассона имеет вид

. Полагая последовательно i = 0, 1, 2, … , 7, находим p(i) и теоретические частоты

. Результаты всех вычислений заносим в таблицу. Сравниваем эмпирические n _i и теоретические

частоты с помощью критерия Пирсона. Для этого вычисляем разности

, их квадраты, затем отношения

. Суммируя значения последнего столбца, находим наблюдаемое значение критерия Пирсона:

. По таблице критических точек распределения χ² (смотри таблицу) по уровню значимости α = 0,05 и числу степеней свободы m = k – 2 = 8 – 2 = 6 находим критическую точку правосторонней критической области

. Так как

, то результаты опыта не противоречат гипотезе о распределении случайной величины Х по закону Пуассона. Гипотезу принимаем.

Расчётная таблица

x _i	n _i
0	0	0,030	3	- 3	9	3
1	11	0,105	10,5	0,5	0,25	0,024
2	19	0,184	18,4	0,6	0,36	0,019
3	22	0,214	21,4	0,6	0,36	0,017
4	19	0,187	18,7	0,3	0,09	0,005
5	15	0,131	13,1	1,9	3,61	0,276
6	10	0,076	7,6	2,4	5,76	0,758
7	4	0,038	3,8	0,2	0,04	0,010
Σ	100	0,965				4,11

П р и м е р 2. В результате семи независимых измерений некоторой физической величины, выполненных с одинаковой точностью, получены опытные данные: х₁, х₂, х₃, х₄, х₅, х₆, х₇. Предполагается, что результаты измерений подчинены нормальному закону распределений вероятностей. Оценить истинное значение физической величины при помощи доверительного интервала, покрывающее истинное значение с доверительной вероятностью γ.

х ₁	х ₂	х ₃	х ₄	х ₅	х ₆	х ₇	γ
17,3	17	17,25	17,18	17,12	17,22	17,15	0,96

Р е ш е н и е. Точные значения математического ожидания и среднего квадратичного ожидания измеряемой случайной величины неизвестны. Можно найти лишь выборочные их значения. Найдём среднее значение измерений

. Найдём выборочную дисперсию:

Найдём выборочное средне квадратичное отклонение:

. Случайная величина

, где а — неизвестное точное значение измеряемого параметра Х, распределяется по закону Стьюдента с (n - 1) степенями свободы. Поэтому для вероятности

можно по таблице распределения Стьюдента найти q% пределы ±t_q,n-1 такие, что

, или

. Следовательно, интервал

будет доверительным интервалом, отвечающей доверительной вероятности

. Далее имеем

. По таблице распределений Стьюдента для q = 1 – 0,96 = 0,04 → 4%, k = n – 1 = 6 находим t_5,6 = 2,447.
Далее имеем

или 17,084 < a < 17,268.
О т в е т. Истинное значение измеряемой величины с надёжностью 95% лежит в интервале 17,084 < a < 17,268.

П р и м е р 3. Получено распределение 100 га пахотной земли по количеству внесённых удобрений х (в центнерах на 1 га) и по урожайности у (в центнерах на 1га ), указанное в таблице:

у _j ц. с га x _i ц. на га	10	12	14	16	18	20	Итого
10	9	4	1				14
30	1	10	9	3			23
50		2	6	14	6		28
70			1	10	18	6	35
Итого	10	16	17	27	24	6	100

В таблице показано, на скольких гектарах внесено количество удобрений и получена урожайность.

Найдём групповые средние арифметические урожайности при внесении соответствующего количества удобрений на гектар:

. Найдём уравнение прямой y = a·x + b, для которой величина

принимает минимальное значение. В выражении функции Δ величины n _ix равны:

n_ix

Применяя необходимое условие экстремума функции двух переменных

, получим систему двух линейных уравнений

относительно искомых параметров a и b. В этой системе

. Производим вычисление этих величин

. Для рассматриваемой задачи эта система имеет вид:

и решением её будет {b = 9,8463, a = 0,11314}.

Расположение точек с координатами (x_i, y_i), i = 1, … 4 и прямой регрессии y = a·x + b указаны на рисунке.

Если искать зависимость x = c·y + d, то функция, для которой среднее квадратическое отклонение имеет минимум, представляется в виде

. Причём величины n_iy равны:

n _iy

Найдём групповые средние арифметические количеств удобрений по урожайностям на гектар:

;

; x₆ = 70 ц. Необходимые условия минимума функции S₁ приводят к уравнениям вида:

Вычисляя коэффициенты системы по вышеприведённым данным, получим систему уравнений

которые имеют решение {d = 7,8522, c = 0,15573}.

Расположениеточек с координатами (x_i, y_i), i = 1, …, 6 и прямой регрессии x = c·y + d указаны на рисунке.