ЛЕКЦИЯ 2




  1. Решение уравнения колебания струны методом характеристик (методом Даламбера)
  2. Решение уравнения колебания струны, закрепленной на концах, методом разделения переменных (методом Фурье)
  3. Определение изгиба рельса, лежащем на безинерционном упругом основании, при движении по рельсу со скоростью v сосредоточенной нагрузки P0

Решение уравнения колебания струны методом характеристик (методом Даламбера)

 Струной называется тонкая нить, которая может свободно изгибаться. Пусть струна находится под действием сильного начального напряжения Т0. Если вывести струну из положения равновесия и подвергнуть действию какой- нибудь силы, то струна начнет колебаться (рис. 1). Ограничимся рассмотрением малых, поперечных и плоских колебаний струны, т.е. таких колебаний, при которых отклонения точек струны от положения покоя малы, в любой момент времени все точки струны находятся в одной и той же плоскости и каждая точка струны колеблется, оставаясь на одном и том же перпендикуляре к прямой, соответствующей состоянию покоя струны.
 Принимая эту прямую за ось Ox, обозначим через u = u( x, t) отклонение точек струны от положения равнов6есия в момент времени t. При каждом фиксированном значении t график функции u = u(x, t) на плоскости xOu дает форму струны в момент времени t.
 Функция u = u(x, t) удовлетворяет дифференциальному уравнению
где - масса единицы длины(линейная плотность струны), F- сила, действующая на струну перпендикулярно оси абсцисс и рассчитанная на единицу длины.
 Если внешняя сила отсутствует, т.е f = 0, то получается уравнение свободных колебаний струны
.
Для полного определения движения струны нужно задать в начальный момент форму и скорость струны, т.е. положение ее точек и их скорость в виде функций абсцисс x этих точек. Пусть Эти условия называются начальными условиями задачи. Приведя уравнение к каноническому виду, получим уравнение Общее решение последнего уравнения запишется так: u = θ 1(ξ) + θ 2(η), где ξ = x - at, η = x + at, θ 1, θ 2 - произвольные функции. Таким образом, общее решение дифференциального уравнения свободных колебаний имеет вид
u = θ 1 (x + at) + θ 2 (x - at).
Подобрав функции θ 1, θ 2 так, чтобы функция u = u(x, t) удовлетворяла приведенным начальным условиям, приходим к решению исходного дифференциального уравнения в виде
  1. Найти решение уравнения
     Рекомендации. Так как Таким образом,
  2. Найти решение уравнения
     Рекомендации. Здесь a = 2, φ(x) = 0, ψ (x) = x. Отсюда
  3. Найти форму струны, определяемой уравнением в момент если
     Рекомендации. Имеем
    т.е.
    .
    Если т.е. струна параллельна оси абсцисс.
  4. Найти решение уравнения
  5. Найти решение уравнения
  6. Найти форму струны, определяемой

Решение уравнения колебания струны, закрепленной на концах, методом разделения переменных (методом Фурье)

 Пусть требуется найти решение уравнения удовлетворяющее начальным и граничным (краевым) условиям
.
Будем искать (не равное тождественно нулю) решение уравнения в виду произведения двух функций, одна из которых зависит только от x, а другая- только от t, т.е
u(x, t) = X(x)·T(t).
Представляя это выражение в данное уравнение, имеем
X(x)·T ''(t) = a2 X ''(x)·T(t),
откуда, разделив переменные, получим
Это равенство двух отношений, зависящих только от x и только от t, возможно только в случае, если оба отношения равны постоянному числу - λ, (где λ > 0):
Общие решения этих уравнений имеет вид
где A, B, C, D - произвольные постоянные, а функция
.
Постоянные A и B можно найти, используя кравевые условия. Так как T º 0, то Х (0) = 0, и Х(l) = 0. Следовательно,
т.е. A = 0 и и в силу того, что В ¹ 0 имеем , откуда Итак,
 Найденные значения λ называются собственными значениями для данной краевой задачи, а функции - собственными функциями.
 При найденных значениях λ получаем

Каждому значению k отвечают свои постоянные C и D, поэтому пишем ak, bk, a постоянную B включаем в ak, bk. Так как уравнение линейное и однородное, то сумма решений также является решением, которое можно представить в виде ряда
Этот ряд служит решением уравнения, если коэффициенты ak и bk таковы, что сходится сам ряд, а также ряды, получающиеся после двукратного дифференцирования по x и по t. При этом решение должно удовлетворять начальным условиям:
Если функция φ (x) разлагается в ряд Фурье в промежутке (0, l) по синусам, то
                     (1)
Из условия имеем
Определяем коэффициенты Фурье этого ряда:
откуда
                     (2)
таким образом, решение уравнения колебания струны может быть представлено как сумма бесконечного ряда:
где ak и bk определяются по формулам (1) и (2).

Примечание. Если положить то уравнения для определения X(x) и Т(t) имели бы вид

X″ (x) - λ·X(x) = 0 и T″ (t) - a²·λ·T(t) = 0.
Общее решение из них не может удовлетворять граничным условиям.

  1. Струна, закрепленная на концах x = 0 и x = l, имеет в начальный момент форму параболы Определить смещение точек струны от оси абсцисс, если начальные скорости отсутствуют (рис 1.)
     Указание. Здесь Находим коэффициенты ряда, определяющего решение уравнения колебания струны
    Для нахождения коэффициента ak дважды интегрируем по частям:
    u1 = lx - x², , du1 = (l - 2x)dx,
    т.е.
    u2 = l - 2x, , du2 = - 2dx,
    Подставляя выражения для ak и bk в равенство (1), получим
  2. Дана струна, закрепленная на концах x = 0 и x = l. Пусть в начальный момент форма струны имеет вид ломаной ОАВ,Изображенный на рис. 61. Найти форму струны для любого момента времени t, если начальные скорости отсутствуют.
     Р е к о м е н д а ц и и. Угловой коэффициент прямой OA равен h/(l/2), т.е. 2h/l. Следовательно, уравнение этой прямой есть u = (2h/l)x. Прямая AB отсекает на осях координат отрезки l и 2h; значит, уравнение этой прямой имеет вид x/l + u/(2h) = 1 или u = (2h/l) (l - x). Итак,
    Находим
    Интегрируя по частям, получаем
    следовательно,
    Выпишем несколько членов ряда:
  3. Пусть начальные отклонения струны, закрепленной в точках x=0 и x=l, равны нулю, а начальная скорость выражается формулой
    Определить форму струны для любого момента времени t.
     Рекомендации. Здесь φ(x) = 0, а ψ(x)= v0 в интервале ( (l - h)/2, (l + h)/2) и ψ(x) = 0 вне этого интервала. Следовательно, ak = 0;
    Отсюда
    или
  4. Струна закреплена на концах x = 0 и x = 3. В начальный момент форма струны имеет вид ломаной OAB, где O (0;0), A(2; -0,1), B(3;0) . Найти форму струны для любого момента времени t, если начальные скорости точек струны отсутствуют.
  5. Струна, закрепленная на концах x = 0 и x = l, в начальный момент имеет форму u = h(x4 - 2x ³ + x). Найти форму струны для любого момента времени t, если начальные скорости точек струны отсутствуют.
  6. Струна закреплена в точках x = 0 и x = l. Начальные отклонения точек струны равны нулю, а начальная скорость выражается формулой
    Найти форму струны любого момента времени t.

Определение изгиба рельса, лежащем на безинерционном упругом основании, при движении по рельсу со скоростью v сосредоточенной нагрузки P0

 По рельсу, лежащем на линейном упругом безинерционном основании (см. рисунок), движется с постоянной скоростью v сосредоточенная нагрузка P0. Жёсткость основания k; натяжение рельса Т0; масса единицы длины рельса m0. Силы диссепации не учитываются.
 Определить прогибы рельса в зависимости от скорости движения нагрузки (в начальный момент времени нагрузка находится над левой опорой.
 Р е ш е н и е. Дифференциальное уравнение колебаний рельса, лежащем на безинерционном основании с учётом сосредоточенной силы имеет вид
,
   где z0 = v t и δ (z - z0) – дельта-функция.
 Дельта-функция обладает свойствами:  Так как δ (z - z0) отлична от нуля только на интервале Δ z, то бесконечные пределы можно заменить на конечные:
.
 Разложим дельта-функцию в ряд Фурье по функциям, удовлетворяющим краевым условиям задачи:
.
Коэффициенты разложения
.
 Разложив дельта-функцию в ряд и приняв
, (1)
получим для yn (t) уравнение
. (2)
 Введём обозначения
 (3)
и перепишем уравнение (2) в виде, удобном для решения
. (4)
В случае ω ≠ ν общее решение уравнения (4) имеет вид
. (5)
Пусть в начальный момент времени имеет место yn(0) = 0 и yn' (0) = 0. В этом случае C1 = 0 и
.
Подставив найденные произвольные постоянные в (5), получим
. (6)
Учитывая (3) и (6), соотношение (1) примет вид
.
В случае ω = ν возникают резонансные колебания и в этом случае каждая гармоника может стать резонансной и привести к росту амплитуды колебаний рельса. Выделяется интервал скоростей движения нагрузки
,
при которых возникают резонансные движения, возникают автоколебательные явления. В этом интервале критические скорости расположены дискретно. При критических скоростях или скоростях близких к критическим рост амплитуды колебания рельса сдерживается нелинейными явлениями, которые здесь не учитываются.