УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

Уравнение теплопроводности для нестационарного случая
Случай неограниченного стержня
Cлучай стержня ограниченного с одной стороны
Случай стержня, ограниченного с обоих концов
Уравнение теплопроводности для стационарного случая

Уравнение теплопроводности для нестационарного случая

Обозначим через u = u(M, t) температуру в точке М однородного тела, ограниченного поверхностью S, в момент времени t. Известно, что количество теплоты dQ поглощаемой телом за время dt, выражается равенством

(1) где dS - элемент поверхности, k - так называемый коэффициент внутренней теплопроводности,

производная функциии по направлению внешней нормали к поверхности S. Так как теплота распространяется в направлении понижения температуры, то dQ > 0, если

, и dQ < 0, если

. Из равенства (1) следует, что

Вычислим Q другим способом. Выделим элемент dV объема V, ограниченного поверхностью S. Количество теплоты dQ, получаемой элементом dV за время dt, пропорционально повышению температуры в этом элементе и массе самого элемента, т. е.

(2) где ρ — плотность вещества, γ — коэффициент пропорциональности, называемый теплоемкостью вещества. Из равенства (2) следует, что

Таким образом получаем

где

Учитывая, что

Преобразуем полученное равенство к виду

Заменив правую часть равенства с помощью формулы Остроградского-Гауса, имеем

или

для любого объема V. Отсюда получаем дифференциальное уравнение

называемое уравнением теплопроводности для нестандартного случая.
Если тело является стержнем, направленным по оси Ox, то уравнение теплопроводности имеет вид

Рассмотрим задачу Коши для следующих трех случаев.

Случай неограниченного стержня

Задача о распространении тепла в неограниченном однородном стержне, боковая поверхность которого теплоизолирована математически формулируется следующим образои. Найти решение u(x, t) уравнения

(3) удовлетворяющего начальному условию u(x, 0) = φ (x), - ∞ < x < ∞, где φ (x) – непрерывная ограниченная функция. Будем искать решение уравнения в виде u = T(t)·X(x). (4) Подставляя (4) в (3), получим T ′·X(x = a² T(t X ″))или

где λ² – постоянная. Мы получаем, таким образом, T ′ (t) + a² λ² T (t) = 0, X″(x) + λ² X(x) = 0, откуда, отбрасывая постоянный множитель в выражении T(t): T(t) = e ^{- a ² λ ² t}, X(x) = A cos λx + B sin λx. Согласно (4) получим u(x, t) = e ^{- a ² λ ² t}·[A cos λx + B sin λx] (5) есть частное решение уравнения (3) при любых A(λ) и B(λ). Интегрируя (5) по параметру λ получим решение уравнения (3)

(6) если этот интеграл сходится и его можно дифференцировать один раз по t и два раза по х под знаком интеграла.
Полагая в (6) t = 0, получим

(7) Сравнивая интеграл в правой части с интегралом Фурье для функции φ(х):

видим, что можно удовлетворить равенству (7), положив

(8) Подставиви (8) в (6), получим

или, изменив порядок интегрирования,

(9) Внутренний интеграл можно вычислить. Действительно, положим

откуда

Поэтому

(10) Диффуренцируя интеграл J(μ) по параметру μ, найдём, что

причём это дифференцирование законно в силу равномерной сходимости полученного интеграла. Интегрируя теперь по частям, получаем

откуда

. Чтобы найти постояннуюС, полагаем здесь μ = 0. Это даёт

. Поэтому

, и, в силу (10),

. Подставиви это выражение в (9), окончательно найдём:

(11)

Cлучай стержня ограниченного с одной стороны

Решение уравнения

удовлетворяющее начальному условию u(x, 0) = f(x) и краевому условию u(0, t) = φ(t), выражается формулой

Случай стержня, ограниченного с обоих концов

Рассмотрим случай стержня, ограниченного с обоих концов x = 0 и x = l. Здесь задача Коши состоит в том, что найти решение уравнения

удовлетворяющее начальному условию u|_{x = 0} = u|_{x = l} = 0 или

В этом случае частное решение ищется в виде ряда

где

(для краевых условий u|_{x = 0} = u|_{x = l} = 0 ), и в виде ряда

где

(для краевых условий

Решить уравнение для следующего начального распределения температуры стержня: Рекомендации. Так как f(x) в интервале (x₁,x₂) равна постоянной температуре u₀, а вне интервала температура равна нулю, то решение примет вид Полученный результат можно преобразовать к интегралу вероятностей: Действительно, пологая получим Таким образом, решение выразится формулой Графиком функции Ф(z) является кривая, изображенная на рис. 1.
Найти решение уравнения удовлетворяющее начальному условию u|_{x = 0} = f (x) = u₀ и краевому условию u|_{x = 0} = 0.
Р е к о м е н д а ц и и. Здесь мы имеем дифференциальное уравнение теплопроводности для полубесконечного стержня. Решение, удовлетворяющее указанным условиям, имеем вид. Полагая преобразуем первый интеграл, пользуясь интегралом вероятностей, т.е. Полагая , получим Таким образом, решение принимает вид .
Найти решение уравнения ( 0 < x < l ), t > 0 удовлетворяющее начальным условиям: и краевым условиям u|_{x = 0} = u|_{x = l} = 0.
Р е к о м е н д а ц и и. Решение задачи Коши, удовлетворяющее указанным краевым условиям, будем искать в виде где Проинтегрируем по частям, полагая u = x, , du = dx и получим Следовательно, искомое решение имеет вид или
Найти решение уравнения удовлетворяющее начальным условиям ●Решение выразится формулой заменой упростить ответ.
Найти решение уравнения теплопроводности, если левый конец x = 0 полубесконечного стержня теплоизолирован, а начальное распределение температуры
Дан тонкий однородный стержень длины l, изолированный от внешнего пространства, начальная температура которого равна f(x) = cx(l - x)/l². Концы стержня поддерживаются при температуре, равной нулю. Определить температуру стержня в момент времени t > 0.
● Закон распределения температуры стержня описывается уравнением начальным условием и краевыми условиями u|_{x = 0} = u|_{x = l} = 0.

Уравнение теплопроводности для стационарного случая

Уравнение теплопроводности для стационарного случая обращается в уравнение Лапласа

(12)

. Уравнение Лапласа можно записать в виде Δu = 0. Здесь u есть функция только точки и не зависит от времени.
Для задач, относящихся к плоским фигурам, уравнение Лапласа записывается в виде

(13) Такой же вид имеет уравнение Лапласа и для пространства, если u не зависит от координаты z, т.е u(M) сохраняет постоянное значение при перемещении точки M по прямой, параллельной оси z. Заменой x = r·cos θ, y = r·sin θ уравнение (13)можно преобразовать к полярным координатам:

Отсюда

или

С уравнением Лапласа связано понятие гармонической функции. Функцию называют гармонической в области D, если в этой области она непрерывна вместе со своими производными до второго порядка включительно и удовлетворяет уравнению Лапласа. Так, для уравнения (12) функция u = 1/r, где

является гармонической в любой области исключая точку M₀(x₂, y₀, z₀). Для любой плоскости такой функцией служит u = 1/r (или u = ln r), т.е. эта функция удовлетворяет уравнению (13). Задача отыскания функции u, гармонической в области D, непрерывной в D, включая и поверхность S, ограничивающую эту область и удовлетворяющей краевому условию u|_{на S} = f (M), где f(M) = f(x, y, z) – заданная непрерывная на S функция, называется задачей Дирихле.

Найти стационарное распределение температуры в тонком стержне с теплоизолированной боковой поверхностью, если на концах стержня u|_{x = 0} = u₀, u|_{x = l} = u_l.
Р е к о м е н д а ц и и. Задача Дирихле для одномерного случая состоит в нахождении из уравнения Лапласа функции u, удовлетворяющей краевым условиям u|_{x = 0} = u₀, u|_{x = l} = u_l. Общее решение указанного уравнения есть u = A x + B, а учитывая краевые условия, получим т.е. стационарное распределение температуры в тонком стержне с теплоизолированной боковой поверхностью линейно.
Найти стационарное распределение теплоты в пространстве между двумя цилиндрами с общей осью Oz при условии, что на поверхностях цилиндров поддерживается постоянная температура.
Рекомендации. Перейти к цилиндрическим координатам, считая, что u не зависит от θ и z.