Задание 2

Рассмотрим дифференциальное уравнение

                        (1)

где X, Y и Z- функции x, y и z.
Предварительно решим систему обыкновенных дифференциальных уравнений

Пусть решение этой системы определяется равенствами
ω1 (x, y, z) = c1, ω2 (x, y, z) = c2
Тогда общий интеграл дифференциального уравнения (1) имеет вид
Ф (ω1 (x, y, z), ω2 (x, y, z)) = 0,
где Ф - произвольная непрерывно дифференцируемая функция.
  1. Найти общий интеграл уравнения
       Указание. Рассмотрим систему уравнений
    Решая уравнения , получим ; решение уравнения есть Теперь можно найти общий интеграл заданного уравнения:
    , или
    т.е где ψ - произвольная функция.
  2. Найти общий интеграл уравнения
       Указания. Запишем систему уравнений
    Воспользовавшись свойством пропорции, представим уравнение
    в виде
    или
    Интегрируя, получаем
    Последнее равенство можно переписать в виде
    Второе уравнение системы dz = 0. Отсюда z = C2. Общий интеграл имеет вид
    или
  3. Найти поверхность, удовлетворяющую уравнению и проходящую через
    окружность x2+ y2 = 16, z = 3.
       Указание. Решим систему уравнений
    .
    Освободившись от знаменателя имеем xdx = ydy, 2 xdx = - zdz. Интегрируя оба уравнения, получаем
    Общий интеграл заданного уравнения имеет вид
                    (*)
    Из семейства поверхностей, определяемых этим уравнением, нужно выделить поверхность, проходящую через окружность x² + y² = 16, z = 3. Для того чтобы найти функцию ψ , в равенстве (*) положим x² = 16 - y², z = 3. Тогда получим
    Пусть 16 - 2y² = t, откуда Следовательно, , т. е. . Представляя найденное выражение в соотношение (*), имеем
    , или x² + y² + z² = 25.
    Итак, искомой поверхностью является сфера.
  4. Найти общий интеграл уравнения
  5. Найти общий интеграл уравнения
  6. Найти поверхность, удовлетворяющую уравнению и проходящую через параболу y² = z, x = 0.