Задание 3

Рассмотрим уравнение второго порядка

(1)

где а, b, c - функции x и y.
Говорят, что указанное уравнение в области D принадлежит гиперболическому типу, если в этой области b ² - ac > 0, а если b ² - ac = 0, то уравнение принадлежит параболическому типу, а если b ² - ac < 0, то уравнение принадлежит эллипсическому типу.
Уравнение

называется каноническим уравнением гиперболического типа; уравнение

- каноническим уравнением параболического типа; уравнение

каноническим уравнением эллиптического типа.
Дифференциальное уравнение a (dy)² - 2b dx dy + cb (dx)² = 0 называется уравнением характеристик уравнения (1). Для уравнения гиперболического типа уравнение характеристик имеет два интеграла: φ (x, y) = C₁, ψ (x, y) = C₂, т. е. существуют два семейства действительных характеристик. С помощью замены переменных ξ = φ (x, y), η = ψ (x, y) дифференциальное уравнение (1) приводится к каноническому виду.
Для уравнения параболического типа оба семейства характеристик совпадают, т.е. уравнение характеристик дает лишь один интеграл φ (x, y) = C. В этом случае нужно произвести замену переменных ξ = φ (x, y), η = ψ (x, y), где φ(x,y) – какая-нибудь функция, для которой

После такой замены уравнение приводится к каноническому виду.
Для уравнения эллиптического типа интегралы уравнения характеристик имеют вид φ(x, y) ± ψ (x, y) = где i φ(x, y) и ψ (x, y) – действительные функции. С помощью подстановки ξ = φ (x, y), η = ψ (x, y) уравнение (1) приводится к каноническому виду

Привести к каноническому виду уравнение
Указание. Здесь a = x², b = 0, c = - y², b² – ac = x²y² > 0; следовательно это уравнение гиперболического типа.
Составляем уравнение характеристик: x²(dy)² - y²(dx)² = 0 или (x dy + y dx)·(x dy - y dx) = 0. Получаем два дифференциальных уравнения x dy + y dx = 0 и = 0;разделяя переменные и интегрируя, имеем
После потенцирования находим xy = C₁ и y/x = C₂ – уравнения двух семейств характеристик. Введем новые переменные ξ = xy, η = y/x. Выразим частные производные по старым переменным через частные производные по новым переменным:

Подставим в данное дифференциальное уравнение найденные для вторых производных выражения, получим т.е. уравнение приведено к каноническому виду.
Привести к каноническому виду уравнение
   Указание. Здесь a = sin² x, b = - y sin x, c = y². Так как b² - ac = y² sin² x - y² sin² x = 0, данное уравнение - параболического типа.
   Уравнение характеристик имеет вид sin² x (dy)² + 2 y sin x (dy dx) + y² (dx)² = 0 или (sin x dy + t dx)² = 0.
   Разделяя в уравнении sin x dy + t dx = 0 переменные и интегрируя, имеем Произведем замену переменных: (произвольная функция). Тогда получим

Подставляя в данное дифференциальное уравнение выражения для вторых производных, имеем Можно легко показать, что члены, содержащие и , взаимно уничтожаются, и уравнение принимает вид или Так как Окончательно получаем
Привести к каноническому виду уравнение .
Указание. Здесь a = 1, b = - 1, c = 2, b² - ac = - 1 <, т.е уравнение эллиптического типа.
Уравнение характеристик имеет вид (dy)² + 2 dx dy +2 (dx)² = 0 или (y ′ )² + 2 y ′ + 2 = 0. Отсюда y ′ = - 1 ± i; получаем два семейства мнимых характеристик: y + x - i x = C₁, y + x + i x = C₂. Произведя замену переменных ξ = y + x, η = xимеем

Подставив найденные выражения в дифференциальное уравнение, получаем Привести к каноническому виду уравнения: