Главная страница раздела 1
Главная страница раздела 2
Выбор задания
Рабочая программа 4 семества
Литература
Пример 1
Пример 2
Пример 3
Пример 4
Пример 1. Дана функция двух переменных , точка M0 (1; 2) и вектор . Найти:
  1. grad U в точке М0:
    - искомый градиент.
  2. Производную в точке М0 по направлению вектора .
    Находим направляющие косинусы вектора .
    , , .
    По определению производной по направлению имеем
    ,
    .
  3. Наибольшую скорость изменения функции в точке М0.
Пример 2. Показать, что данное векторное поле
является потенциальным, и найти его потенциал. Решение. По условию задачи компоненты этого векторного поля определятся соотношениями
P = 4 x − 7 y z; Q = 4 y − 7 x z; R = 4 z − 7 x y.
Найдём вихрь этого векторного поля:
Если , то поле потенциально. В этом случае существует такая функция U, что для неё выполняются соотношения
Интегрируем первое уравнение этой системы при постоянных переменных y и z:
U = 2 x2 − 7 xyz + φ (y; z)..
Продифференцируем выражение функции U по переменной y:
.
Подставим выражение этой производной во второе уравнение системы:
.
Проинтегрируем это соотношение по переменной у при постоянной переменной z:
φ (y, z) = 2 y2 + ψ (z).
Потенциал в этом случае примет уже вид
U = 2 x2 − 7 xyz + 2 y2 + ψ (z).
Дифференцируем это выражение по переменной z и подставим полученное выражение в третье уравнение системы:
.
Приводя подобные и интегрируя оставшееся выражение по переменной z, получим ψ (z) = 2 z2, и выражение потенциала окончательно примет вид
U = 2 x2+ 2 y2 + 2 z2 − 7 xyz.
Пример 3. Дано векторное поле и плоскость 3·x + 2·y + 3·z = 6, которая с координатными плоскостями образует пирамиду V. Вычислить поток векторного поля через полную поверхность пирамиды в направлении внешней нормали к её поверхности.
Р е ш е н и е. Вычислим поток векторного поля непосредственно. Поток вектора через поверхность σ σxy σxz σyz равен сумме потоков векторного через каждую составляющую
Вычислим значение первого интеграла
Область интегрирования представим в виде системы неравенств
Далее, приводя двойной интеграл к повторному, получим
Вычислим значение второго интеграла
Значение третьего и второго интеграла равны нулю. Окончательно, поток векторного поля через полную поверхность пирамиды в направлении внешней нормали к её поверхности равен
Q = 18 − 8 = 10.
Найдём поток через формулу Остроградского. Дивергенция векторного поля равна
.
По формуле Остроградского имеем
,
что совпадает с ранее полученным результатом.
П р и м е р 4. Найти:
1) Дивергенцию векторного поля .
Р е ш е н и е. Дивергенцию векторного поля найдём по формуле
где
P = 4 x − z, Q = y + z, R = 3 z.
Поэтому
2) найти вихрь поля.
Р е ш е н и е. Вихрь векторного поля найдём по формуле
3) циркуляцию векторного поля по периметру треугольника с вершинами в точках А (− 1; 2; − 1), В (− 2, − 3, 2),
С( − 3; − 4; 3) непосредственно.
Р е ш е н и е. По определению циркуляция векторного поля равна криволинейному интегралу по замкнутому контуру
.
Составим уравнения сторон треугольника АВС в параметрической форме:
при изменении параметра t в промежутке 0 ≤ t ≤ 1 точки прямой будут перемещаться от вершины А к вершике В на прямой, от вершины В к вершине С на прямой ВС, от вершины С к вершине А на прямой СА.
Воспользовавшись свойством аддитивности криволинейного интеграла второго рода по линии интегрирования, получим
.
Воспользовавшись правилом преобразования криволинейного интеграла второго рода к определённому интегралу, получим


Окончательно циркуляция векторного поля по периметру треугольника будет равна
3) Вычислим циркуляцию по теореме Стокса
Уравнение плоскости, на которой лежит треугольник имеет вид − x − y − 2z − 1 = 0. Нормальным вектор этой плоскости будет . Ортом этого вектора будет Проекция вихря поля на вектор нормали к плоскости определится через скалярное произведение двух векторов
Циркуляция поля по формуле Стокса в этом примере будет равна
Для вычисления площади треугольника следует вспомнить материал первого семестра, как это можно сделать. При выполнении контрольной работы эти вычисления следует привести полностью. Опуская эти вычисления, запишем Окончательно
,
что совпадает с результатом, полученным непосредственно.