Главная страница раздела 1
Главная страница раздела 2
Выбор задания
Рабочая программа 3 семестра
Литература

П р и м е р 1. Найти частные производные: .
Р е ш е н и е. Естественно воспользоваться свойством логарифмической функции и правилом дифференцирования сложной функции:

П р и м е р 2. Найти частные производные второго порядка функции z = x4 + 4 x2 y3 + 7 x y + 1 .
Р е ш е н и е. Воспользовавшись правилами дифференцирования, имеем
Следовательно,
П р и м е р 3. Найти частные производные второго порядка функции z = sin x·cos y.
Р е ш е н и е. Имеем Следовательно,
П р и м е р 4. Дана функция z = x2 + y2 − 2 x + 2 y и точка В (1,08; 1,94). Найти:
  1. значение функции в точке В;
  2. приближённое значение z1 функции в точке В, заменяя приращение функции при переходе от ближайшей «удобной» точки А к точке В дифференциалом; оценить в процентах относительную погрешность вычисления при замене приращения функции дифференциалом.
Р е ш е н и е. Вычислим значение функции в точке В:
z(B) = 1,082 + 1,942 − 2·1,08 + 2·1,94 = 6,65.
Приближенное значение z*(B) = z0 + d z, где z0 = z(1, 2) = 12 + 22 + 2·1 + 2·2 = 7.
Найдём приращения аргументов: Δ x = x − x0 = 1,08 − 1 = 0,08; Δy= y − y0 = 1,94 − 2 = − 0,06.
Найдём значения частных производных функции в точке А:

.
Найдём значение дифференциала
.
Приближённое значение функции в точке В равно z* = 7 − 0,24 = 6,76.
Относительная погрешность вычисления равна
.
П р и м е р 5. Вычислить производную неявно заданной функции x2 + y2 − 2 x + 2 y = 0  в точке (− 1; − 3).
Р е ш е н и е. Возьмём производную по переменной х от левой и правой части указанного соотношения в предположении, что переменная у является функцией переменной х:
x + y·y' − 2 + y' = 0.
Подставим в это соотношение указанные значения х = − 1 и у = − 3:
− 1 − 3·y' − 2 + y' = 0.
Из полученного соотношения найдём