ВВЕРХ
Для доступа к меню нажмите правую кнопку мыши.
П р и м е р 1. Найти область сходимости степенного ряда 
.
Р е ш е н и е.
откуда имеем
,
или
.
На левом конце интервала 
рассматриваемый ряд превращается в знакочередующийся числовой ряд вида
,
который сходится по признаку Лейбница.
На правом конце интервала 
рассматриваемый ряд
превращается в знакоположительный ряд вида
,
который является расходящимся.
О т в е т:
— область сходимости.
П р и м е р 2. Найти область сходимости степенного ряда
.
Р е ш е н и е. Найдём радиус сходимости этого степенного ряда. Коэффициенты ряда определяются соотношением
. И тогда радиус сходимости
.
Таким образом, интервал сходимости имеет вид − 1 < х < 1.
Исследуем сходимость на концах интервала сходимости. При х = − 1 степенной пряд обращается в знакочередующийся числовой ряд
,
который сходится по признаку Лейбница, так как
.
При х = 1 степенной пряд обращается в знакоположительный числовой ряд
.
Этот ряд сходится по интегральному признаку, так как сходится несобственный интеграл
.
О т в е т. Областью сходимости является − 1 ≤ х ≤ 1.
П р и м е р 3.Вычислить интеграл
с точностью ε = 10-4.
Р е ш е н и е. Используя разложение
,
получим разложение подынтегральной функции
.
Так как промежуток интегрирования (0; 0,2) лежит в области сходимости
(− ∞; + ∞), то интегрируем полученное разложение
Как видно из вышеприведённого, третье слагаемое меньше 10-4. Поэтому все слагаемые, начиная с третьего, можно отбросить
.
З а м е ч а н и е. Интеграл относится к классу невычисляемым в элементарных функциях. С помощью рядов можно
было найти приближённое его значение.
П р и м е р 4. Вычислить определённый интеграл
с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в ряд и почленно интегрируя этот ряд.
Р е ш е н и е. Известно, что
c областью сходимости − 1 < x < + 1. Интегрируя предыдущее разложение в области сходимости, получим
Используя это разложение, получим далее
После интегрирования получается знакочередующийся числовой ряд и погрешность от замены ряда его частичной суммой меньше первого отбрасываемого члена, то есть меньше чем 
.
П р и м е р 5. Найти три отличных от нуля разложения в ряд решения уравнения
y'' = 2·x y' + 4 y2,
удовлетворяющее начальным условиям y|x = 0 = 0, y'|x = 0 = 1.
Р е ш е н и е. Будем искать решение этого уравнения в виде ряда
.
В этом разложении известны первое и второе слагаемое по начальным условиям. Выражение второй производной найдём из уравнения, подставив в него начальные условия: y''(0) = 0. Продифференцируем уравнение, считая у неявной функцией переменной аргумента х:
y''' = 2 y' + 2 x y'' + 8 y y'.
Подставим в полученное соотношение начальные условия и значение второй производной в начальных условиях, получим значение третей производной y'''(0) = 2. Продифференцируем ещё раз выражение третей производной:
y(4) = 2 y'' + 2 y'' + 2 x y''' + 8 (y')2 + 8 y y''.
Подставим в полученное соотношение для четвёртой производной: y(4)(0) = 8. Учитывая значения производных, получим разложение решения
П р и м е р 6. Разложить функцию
в ряд Фурье в указанном интервале и выписать три первых члена ряда. Найти амплитуду и начальную фазу второй гармоники.
Решение. Построим график рассматриваемой функции
Из графика видно, что функция не обладает свойством чётности, и не обладает свойством нечётности. Вследствие этого к ней не применимы теоремы, упрощающие вычисление коэффициентов Фурье. Будем считать, что на интервале [− π; + π] указанная функция представляется тригонометрическим рядом Фурье:
.
Найдём коэффициенты Фурье
Подставив найденные коэффициенты Фурье
,
,
в тригонометрический ряд, получим
.
Последнее представляет собой разложение указанной функции на заданном интервале в тригонометрический ряд Фурье.
Выпишем три первых члена указанного разложения
.
Выражение Гn = an cos n x + bn sin n x называется гармоникой n – го порядка. Эту гармонику можно представить в виде
Гn = An sin (n x + φn) ,
где
— называется амплитудой гармоники, φ n — начальной фазой гармоники. Начальная фаза определяется соотношениями
,
.
Для данного примера вторая гармоника имеет вид
.
Амплитуда второй гармоники равна 
. Начальная фаза определится из соотношения
sin φ2 = 0, cos φ2 = - 1.
Следовательно, φ 2 = π. Поэтому вторая гармоника в синусоидальном
представлении перемет вид
.
Ниже приведены графики функции и трёх слагаемых тригонометрического ряда Фурье
