Пример13

ВВЕРХ

Главная страница раздела 1

Главная страница раздела 2

Нормальное распределение

Распределение хи-квадрат

Распределение Стьюдента

Выбор задания

Рабочая программа 5 семества

Литература

Пример 1

Пример 2

Пример 3

Для доступа к меню нажмите правую кнопку мыши.

П р и м е р 1. В течение 100 суток наблюдалось прибытие железнодорожных составов с углём на станцию для разгрузки. Результаты наблюдений сведены в таблицу: в первой строке указано число составов х _i, прибывших в одни сутки, во второй строке — частота n_i этого события, то есть число суток, в которые прибыло ровно x_i составов.

x _i	0	1	2	3	4	5	6	7
n _i	0	11	19	22	19	13	10	4

При уровне значимости 0,05 проверить гипотезу о том, что число составов Х, прибывших в течение суток, распределено по закону Пуассона. Использовать критерий согласия Пирсона (χ ²).
Р е ш е н и е. Имеем

, k = 8 — число разрядов, на которые разбит статистический материал, α = 0,05. Находим выборочную среднюю:

. Примем в качестве оценки параметра λ распределения Пуассона выборочную среднюю

. Тогда предполагаемый закон Пуассона имеет вид

. Полагая последовательно i = 0, 1, 2, … , 7, находим
p(i) и теоретические частоты

. Результаты всех вычислений заносим в таблицу. Сравниваем эмпирические n _i и теоретические

частоты с помощью критерия Пирсона. Для этого вычисляем разности

, их квадраты, затем отношения

. Суммируя значения последнего столбца, находим наблюдаемое значение критерия Пирсона:

. По таблице критических точек распределения χ ² (смотри таблицу) по уровню значимости α = 0,05 и числу степеней свободы m = k − 2 = 8 − 2 = 6 находим критическую точку правосторонней критической области

. Так как

, то результаты опыта не противоречат гипотезе о распределении случайной величины Х по закону Пуассона. Гипотезу принимаем. Расчётная таблица

x _i	n _i
0	0	0,030	3	- 3	9	3
1	11	0,105	10,5	0,5	0,25	0,024
2	19	0,184	18,4	0,6	0,36	0,019
3	22	0,214	21,4	0,6	0,36	0,017
4	19	0,187	18,7	0,3	0,09	0,005
5	15	0,131	13,1	1,9	3,61	0,276
6	10	0,076	7,6	2,4	5,76	0,758
7	4	0,038	3,8	0,2	0,04	0,010
Σ	100	0,965				4,11

П р и м е р 2. В результате семи независимых измерений некоторой физической величины, выполненных с одинаковой точностью, получены опытные данные: х₁, х₂, х₃, х₄, х₅, х₆, х₇. Предполагается, что результаты измерений подчинены нормальному закону распределений вероятностей. Оценить истинное значение физической величины при помощи доверительного интервала, покрывающее истинное значение с доверительной вероятностью γ.

х ₁	х ₂	х ₃	х ₄	х ₅	х ₆	х ₇	γ
17,3	17	17,25	17,18	17,12	17,22	17,15	0,96

Р е ш е н и е. Точные значения математического ожидания и среднего квадратичного ожидания измеряемой случайной величины неизвестны. Можно найти лишь выборочные их значения. Найдём среднее значение измерений

. Найдём выборочную дисперсию:

Найдём выборочное средне квадратичное отклонение:

. Случайная величина

, где а — неизвестное точное значение измеряемого параметра Х, распределяется по закону Стьюдента с (n − 1) степенями свободы. Поэтому для вероятности

можно по таблице распределения Стьюдента найти q% пределы

такие, что

, или

. Следовательно, интервал

будет доверительным интервалом, отвечающей доверительной вероятности

. Далее имеем

. По таблице распределений Стьюдента для q = 1 – 0,96 = 0,04 → 4%, k = n – 1 = 6 находим t_5,6 = 2,447 .
Далее имеем

или 17,084 < a < 17,268.
Ответ. Истинное значение измеряемой величины с надёжностью 95% лежит в интервале 17,084 < a < 17,268.
П р и м е р 3. Получено распределение 100 га пахотной земли по количеству внесённых удобрений х (в центнерах на 1 га) и по урожайности у (в центнерах на 1га ), указанное в таблице:

у _j ц. с га x_i ц. на га	10	12	14	16	18	20	Итого
10	9	4	1				14
30	1	10	9	3			23
50		2	6	14	6		28
70			1	10	18	6	35
Итого	10	16	17	27	24	6	100

В таблице показано, на скольких гектарах внесено количество удобрений и получена урожайность.
Р е ш е н и е. Найдём групповые средние арифметические урожайности при внесении соответствующего количества удобрений на гектар: