Функции нескольких переменных

  1. Функции нескольких переменных; область определения, способы задания. Предел функции. Непрерывность.
    [1, гл. VIII, §1, 2, 3].
  2. Частные приращения и частные производные. Геометрический смысл частных производных функции двух переменных
    [1, гл. VIII, §3, 5, 6].
  3. Полное приращение и полный дифференциал. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных.
    [1, гл. VIII, §7].
  4. Приближённые вычисления с помощью дифференциала функции двух и трёх переменных [1, гл. VIII, §8, 9].
  5. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Теорема о независимости частных производных от порядка дифференцирования [1, гл. VIII, §12].
  6. Экстремумы функции нескольких переменных. Необходимые условия. Формулировка достаточных условий
  7. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа [1, гл. VIII, §17, 18].
  8. Производная по направлению и градиент, их связь. Геометрический и физический смысл градиента [1, гл. VIII, §13-15].

Обыкновенные дифференциальные уравнения

  1. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Порядок дифференциального уравнения. Дифференциальные уравнения первого порядка. Общее решение. Задача Коши; формулировка теоремы существования и единственности решения задачи Коши.
  2. Уравнения с разделёнными и разделяющимися переменными [2, гл. XIII, § 1-4, упр.1-5,9-13, 18-22, 35,36].
  3. Однородные уравнения первого порядка и приводящиеся к ним [2, гл. XIII, § 5,6, упр.39,40,47].
  4. Линейные уравнения первого порядка. Метод Бернулли. [2, гл. XIII, § 7, упр.57,64,65].
  5. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель. [2, гл. XIII, § 9, 10; упр.72-74].
  6. Геометрическая трактовка решений дифференциальных уравнений первого порядка. Огибающая семейства интегральных кривых. Особые решения. [2, гл. XIII, § 11, 12; упр.83-85].
  7. Дифференциальные уравнения высших порядков (общие понятия). Понижение порядка дифференциального уравнения. [2, гл. XIII, § 16, 17; упр.118,119].
  8. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка. [2, гл. XIII, § 18; упр.122-124].
  9. Линейные однородные уравнения высших порядков. Линейно независимые и линейно зависимые частные решения. Система фундаментальных решений. Общее решение. [2, гл. XIII, § 20].
  10. Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Общее решение линейного однородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, когда корни характеристического уравнения действительные и комплексные. [2, гл. XIII, § 21; упр.129-135].
  11. Неоднородные линейные уравнения второго порядка. Теорема о структуре общего решения. [2, гл. XIII, § 23].
  12. Метод вариации произвольных постоянных [2, гл. XIII, § 23, 25; упр.167-189].
  13. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Структура общего решения [2, гл. XIII, § 24, 25].
  14. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами со специальной правой частью (многочлен, экспонента, синусы и косинусы или их комбинация). Задачи о свободных и вынужденных колебаниях механических и электрических систем [2, гл. XIII, § 24, 26, 27, 28; упр.148, 150, 155, 156].
  15. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений Решение систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. [2, гл. XIII, § 29, 30; упр.185-187], [15].
  16. Понятие о теории устойчивости Ляпунова. Поведение траектории дифференциального уравнения в окрестности особой точки. Классификация особых точек. [2, гл. XIII, § 31; упр.191-193].
  17. Приближённые методы решения дифференциальных уравнений и систем: метод Эйлера, методы Рунге-Кутта. [2, гл. XIII, § 33; 34].

Ряды

  1. Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Необходимое условие сходимости. Действия с рядами. [2, гл. XVI, § 1,2; упр.1-5].
  2. Числовые ряды с положительными членами. Достаточные признаки сходимости: сравнения, интегральный, Даламбера [2, гл. XVI, § 3-6; упр.6-12].
  3. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Оценка погрешности, допущенной при замене ряда частичной суммой [2, гл. XVI, § 7,8; упр.20-28].
  4. Функциональные ряды. Область сходимости, методы ее определения. Теоремы о непрерывности суммы, о дифференцируемости и интегрируемости равномерно сходящихся функциональных рядов [2, гл. XVI, § 9-12; упр.30-33].
  5. Степенные ряды. Теорема Абеля. Интервал и область сходимости степенных рядов. Основные свойства степенных рядов [2, гл. XVI, § 13-15; упр.35-38].
  6. . Ряд Тейлора и Маклорена. Разложение в степенные ряды функций: [2, гл. XVI, § 16, 20; упр.55-63, 67].
  7. Применения степенных рядов в приближенных вычислениях: вычисление значений функций, пределов, определённых интегралов, отыскание решений дифференциальных уравнений [2, гл. XVI, § 21, 22; упр.100-105, 113, 114].

Ряды Фурье, преобразование Фурье. Преобразование Лапласа. Операционный метод.

  1. Тригонометрическая система ортогональных функций. Ряд Фурье. Разложение функций в ряд Фурье. Формулировка условий разложимости. Условие сходимости в точке [2, гл. XVII, § 1, 2, 3, 9, 10, 15; упр.1].
  2. Ряды Фурье для четных, нечетных функций, для функций. Ряды Фурье с периодом 2l и 2π [2, гл. XVII, § 4, 5, 9, 10; упр.5, 6].
  3. . Интеграл Фурье. Преобразование Фурье, его свойства и применение [2, гл. XVII, § 13-16].
  4. Преобразование Лапласа. Оригиналы и их изображение. Свойства изображения. Таблица изображений простейших функций [2, гл. XIX, § 1-9].
  5. Теорема о свертке, теорема запаздывания. Теорема о сдвиге. Интеграл Дюамеля [2, гл. XIX, § 13, 19, 20].
  6. Операционный метод решения линейных обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем [2, гл. XIX, § 10-12, 14-18, упр. 1-4, 10].

Основные требования

В результате изучения программы III семестра студент должен:
  1. Уметь находить частные производные функции двух и трёх переменных.
  2. Уметь использовать понятие дифференциала функции двух и трёх переменных для вычисления приближённых значений функций.
  3. Уметь находить экстремумы функции двух переменных, используя необходимые и достаточные признаки.
  4. С помощью градиента функции двух и трёх переменных уметь определять в точке направление наибольшего изменения функции и скорость этого изменения.
  5. Уметь найти общее и частные решения дифференциального уравнения I порядка.
  6. Владеть методом разделения переменных при интегрировании дифференциальных уравнений первого порядка.
  7. Уметь применять методы решения однородных и неоднородных линейных дифференциальных уравнений первого порядка.
  8. Уметь применять метод понижения порядка при решении дифференциальных уравнений второго порядка.
  9. Решать линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
  10. Применять метод вариации произвольных постоянных при решении линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.
  11. Уметь использовать теорему о структуре общего решения неоднородных линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами со специальной правой частью (многочлен, экспонента, синусы и косинусы или их комбинация).
  12. Знать принцип построения алгоритмов приближённых методов решения дифференциальных уравнений и систем (метод Эйлера, методы Рунге-Кутта).
  13. Уметь найти частное решение, соответствующее заданным начальным условиям, используя стандартные программы этих методов для ЭВМ.
  14. Различать необходимые и достаточные признаки сходимости числовых рядов и уметь их использовать при анализе сходимости любого числового ряда.
  15. Различать условную и абсолютную сходимость знакопеременных рядов; уметь использовать теорему Лейбница для анализа сходимости знакочередующихся рядов.
  16. Для степенного ряда уметь найти радиус сходимости, интервал сходимости, область сходимости.
  17. Уметь использовать для приближённого вычисления значений функций и определённых интегралов ряды Тейлора для функций ex, sin x, cos x, ln (1 + x), arctg x, (1 + x2)-1.
  18. Знать основные принципы разложения периодических и непериодических функций в тригонометрический ряд Фурье. Различать случаи разложения чётной и нечётной функции.
  19. Знать основные теоремы операционного метода (преобразование Лапласа) и уметь применять при нахождении частных решений обыкновенных дифференциальных уравнений и линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений.