Кратные интегралы

  1. Кратные интегралы, задачи, приводящие к ним. Двойные и тройные интегралы; их свойства, вычисление в декартовых координатах [2, гл. XIV, § 1 - 4, 11, 12, упр. 1 - 5, 14, 15].
  2. Замена переменных в кратных интегралах: переход от декартовых координат к полярным, цилиндрическим и сферическим [2, гл. XIV, § 5, 6, 13, упр. 18 - 20].
  3. Геометрические и физические приложения кратных интегралов [2, гл. XIV, § 7 - 10, 14, упр. 67 - 70].

Криволинейные и поверхностные интегралы. Элементы теории векторных полей

  1. Скалярные и векторные поля. Физические примеры [3, гл. VIII, § 8.1].
  2. Криволинейные интегралы I и II рода; задачи, приводящие к ним. Свойства и вычисление [3, гл. VII, § 7.1,2 гл. XV, упр. 1 - 8].
  3. Связь криволинейного интеграла с двойным интегралом. Формула Грина. Условия независимости криволинейных интегралов II рода от линии интегрирования [3, гл. VII, § 7.1,2 гл. XV, упр. 43, 44].
  4. Поверхностные интегралы, их свойства и вычисление [3, гл. VII, § 7.2,2 гл. XV, упр. 22, 28, 29].
  5. Ориентированные и неориентированные поверхности. Поток векторного поля через ориентированную поверхность; его свойства и физический смысл [3, гл. VIII, § 8.2].
  6. Формула Остроградского - Гаусса. Инвариантное определение дивергенции векторного поля [3, гл. VIII, § 8.2,2 гл. XV, упр. 34 - 36, 38].
  7. Вычисление дивергенции векторного поля в декартовых координатах; её свойства и физический смысл. Соленоидальные поля [3, гл. VII, § 8.3,2 гл. XV, упр. 13 - 17].
  8. Линейный интеграл в векторном поле. Работа силового поля. Циркуляция векторного поля. Формула Стокса [3, гл. VIII, § 8.4,2 гл. XV, упр 31 - 33].
  9. Инвариантное определение ротора векторного поля; его свойства и физический смысл. Вычисление ротора в декартовых координатах [3, гл. VIII, § 8.4,2 гл. XV, упр 18 - 20].
  10. Потенциальные поля. Условие потенциальности. Определение потенциала векторного поля [3, гл. VIII, § 8.5].
  11. Оператор Гамильтона. Запись градиента, дивергенции и ротора вектор-ного поля с помощью оператора Гамильтона (вектора ''набла'') [3, гл. VIII, § 8.6].
  12. Оператор Лапласа. Понятие об уравнении Лапласа и гармонической функции [3, гл. VIII, § 8.6].

Основные требования

В результате изучения программы IV семестра студент должен:
  • С помощью двойного интеграла уметь вычислять площадь плоской фигуры и объём цилиндрического тела.
  • С помощью тройного интеграла уметь вычислять объём и массу тела, если известны поверхности, ограничивающие данный объём, и функция распределения плотности в объёме.
  • Вычислять криволинейные интегралы I и II рода. Знать и уметь применять для интегралов II рода условия независимости от линии интегрирования.
  • Иметь представление о методике вычисления поверхностных интегралов.
  • Вычислять потоки векторного поля через поверхность или часть поверхности (используя формулу Остроградского - Гаусса).
  • Знать инвариантное определение дивергенции векторного поля и формулу для её вычисления в декартовой системе координат.
  • Знать инвариантное определение ротора векторного поля и формулу для её вычисления в декартовой системе координат.
  • Знать теорему Стокса и формулу Грина (как частный случай этой теоремы). Уметь их использовать при вычислении циркуляции векторного поля по контуру.
  • Уметь записать выражение для grad u, rot F и div F с помощью оператора Лапласа.