Теория вероятностей и математическая статистика

  1. Предмет теории вероятностей. Относительная частота появления события в испытании. Классическое определение вероятности. Достоверное, невозможное, случайное событие. Геометрические вероятности. [7, гл.I, § 1 - 8, задан. 1 - 15].
  2. Произведение (или совмещение) случайных событий. Зависимые и независимые случайные события. Условные вероятности. Формула умножения вероятностей.[7,гл. III, § 5, задан. 1 - 11].
  3. . Сумма (или объединение) случайных событий. Совместные и несовместные события. Формула сложения вероятностей.[7, гл.II, § 1 - 4, задан. 1 - 6, гл. IV, § 1].
  4. Формула полной вероятности. Формулы Байеса. [7, гл.IV, § 2,3].
  5. Последовательность независимых однотипных испытаний. Схема Бернулли; формула Бернулли. Предельные теоремы Лапласа (локальная и интегральная). [7, гл. V, § 1 - 4, задан. 1-11].
  6. Определение случайной величины. Функция распределения и ее свойства. Дискретные и непрерывные случайные величины. [7, гл. VI, § 1, гл. X, § 1 - 3].
  7. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины. Биномиальное распределение. Распределение Пуассона. Простейший поток событий. [7, гл. VI, § 2 - 6, задан. 1-10].
  8. Числовые характеристики дискретных случайных величин. Математическое ожидание; его свойства. Дисперсия и среднеквадратическое отклонение; основные свойства и вычисление [7, гл. VII, § 1 - 5, задан. 1 - 7; гл. VIII, § 1-3, задан. 1 - 12].
  9. Закон распределения вероятностей (плотность вероятностей) непрерывной случайной величины. Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал. [7, гл. XI, § 1 - 5, задан. 1 - 4].
  10. Математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратическое отклонение непрерывной случайной величины; их вычисление и свойства. [7, гл. XII, § 1].
  11. Равномерный закон распределения вероятностей (равномерное распределение); его числовые характеристики. [7, гл. XI, § 6].
  12. Нормальный закон распределения вероятностей (нормальное распределение) и его параметры.[7, гл. XII, § 2 - 4].
  13. Показательный закон распределения непрерывной случайной величины (экспоненциальное распределение); его числовые характеристики. Функция надежности.[7, гл. XIII, § 1-6, задан. 1 - 4].
  14. Функция Лапласа. Вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величины. Вероятность ее отклонения от математического ожидания. Правило "трех сигм".[7, гл. XII, § 5,6,7].
  15. Функция одного случайного аргумента, ее распределение, математическое ожидание. [7, гл. XII, § 10,11].
  16. Понятие о распределениях "хи-квадрат", Стьюдента и Фишера.[7, гл. XII, § 12 - 15, задан. 1-9].
  17. Система двух случайных величин. Условные законы распределения. Условные математические ожидания. [7,гл. XIV, § 1-15].
  18. Зависимые и независимые случайные величины. Корреляционный момент. Коэффициент корреляции. [7, гл. XIV, § 16,17].
  19. Линейная корреляция. Линейная регрессия. [7, гл. XIV, § 18-21].
  20. Одинаково распределенные взаимно независимые случайные величины. Математическое ожидание и дисперсия среднеарифметического значения. [7, гл.VIII, § 9].
  21. Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Формулировка теоремы Чебышева (об устойчивости средних). Формулировка теоремы Бернулли (об устойчивости частот) [7, гл. IX, § 1-6].
  22. Центральная предельная теорема Ляпунова. Формулировка теорем для последовательностей взаимно независимых одинаково распределенных случайных величин [7, гл.XII, § 8].

Элементы математической статистики

  1. Основные задачи математической статистики. Генеральная и выборочная совокупность данных. Репрезентативность выборки. Статистическое распределение выборки. Варианты, частоты. [7,гл. XV, § 1 - 6].
  2. Эмпирическая функция распределения. Гистограмма. [7,гл. XV, § 7,8].
  3. Статистические оценки параметров распределения. Точечные оценки: несмещенные, эффективные и состоятельные.[7, гл. XVI, § 1,2].
  4. Генеральная и выборочная средняя. Оценка генеральной средней по выборочной средней. [7, гл. XVI, § 3 - 5].
  5. Генеральная и выборочная дисперсия. Оценка генеральной дисперсии по исправленной выборочной [7, гл. XVI, § 8 - 10,13].
  6. Интервальные оценки параметров распределения. Доверительный интервал. Надежность. [7, гл.XVI, § 14].
  7. Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения при известном среднеквадратичном отклонении σ. [7, гл.XVI, § 15].
  8. Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения при неизвестном среднеквадратичном отклонении σ. [7, гл.XVI, § 17 - 19].
  9. Доверительный интервал для оценки среднеквадратичного отклонения нормального распределения ? [7, гл. XVI, § 17 - 19].
  10. Выборочный коэффициент корреляции; его интервальные оценки. Отыскание параметров линейной регрессии методом наименьших квадратов.[7. гл. XVIII, § 3 - 7].
  11. Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности по критерию Пирсона. [7, гл. XIX, § 1 - 3].

Основные требования

В результате изучения программы V семестра студент должен:
  • Знать понятия: случайного события, испытания (опыта), частоты появления случайного события в данном испытании. Достоверные и невозможные события. Привести примеры.
  • Иметь представления об аксиоматическом построении теории вероятностей. Дать классическое определение вероятности. Иметь представление о геометрической вероятности.
  • Дать определение и привести примеры зависимых и независимых, совместных и несовместных случайных событий.
  • Уметь представить любое случайное событие через элементарные с помощью формул сложения и умножения вероятностей.
  • Уметь применять формулу полной вероятности и формулы Байеса.
  • Уметь применять формулу Бернулли при решении задач об однотипных испытаниях.
  • Уметь находить числовые характеристики (математическое ожидание и дисперсию) дискретной случайной величины, если известен закон распределения.
  • Уметь находить математическое ожидание и дисперсию непрерывной случайной величины, если известна ее функция распределения или плотность распределения.
  • Для непрерывной случайной величины, если известна плотность распределения, уметь определять вероятность попадания ее значения в заданный интервал и вероятность того, что случайная величина не превышает заданного значения.
  • Знать аналитическое выражение для следующих законов распределений вероятностей: биномиальный, Пуассона, нормальный, равномерное и показательное (экспоненциальное) распределение.
  • Для нормально распределенной случайной величины уметь вычислять, используя функции Лапласа, вероятность попадания в заданный интервал и вероятность отклонения от математического ожидания.
  • Иметь представления о распределениях "хи-квадрат", Стьюдента и Фишера.
  • Знать формулу определения корреляционного момента и коэффициента корреляции для системы двух случайных величин (дискретных и непрерывных).
  • Уметь правильно оценить объем выборочной совокупности данных и их правильный подбор (репрезентативность). Знать формулу вычисления выборочной средней и выборочной дисперсии (точечные оценки).
  • Уметь находить доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормальной случайной величины при известном и неизвестном среднеквадратичном отклонении σ.
  • Уметь находить доверительный интервал для оценки среднеквадратичного отклонения нормальной случайной величины.
  • Уметь вычислять выборочный коэффициент корреляции и давать его интервальную оценку.
  • По результатам группировки выборочных данных уметь построить гистограмму и оценить вид распределения случайной величины.
  • Уметь пользоваться критерием Пирсона для проверки гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности.