§6. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
Определение. Комплексным числом называется выражение вида a + b·i, где а и b — действительные числа, a i — некоторый символ. При этом а называется действительной (или вещественной) частью данного комплексного числа, b — его мнимой частью, i — мнимой единицей. Символ a + b·i рассматривается сначала как цельный.
Если, в частности, b = 0, то комплексное число a + 0·i, считается совпадающим с действительным числом а, т. е.
Если, в частности, а = 0, то комплексное число 0 + b·i, обозначается просто b·i, и называется чисто мнимым:
В частности, a + b·i нулю тогда и только тогда, когда a = 0 и b = 0.
Понятия «больше» и «меньше» для комплексных чисел не определяются, т. е. комплексные числа по величине не сравниваются.
Два комплексных числа a + b·i и с + d·i, отличающиеся только знаками при мнимой части, называются комплексно сопряженными или просто сопряженными.
Запись c + d i = a + b i или a + b i = c + d i означает, что числа a + b·i и с + d·i являются сопряженными, т. е. с = a, d = - b.
Таким образом, знак «сопряжения» — черта над комплексным числом означает изменение знака при мнимой части.
Как известно, действительные числа изображаются точками числовой оси. Комплексное число z = a + b·i принято изображать точкой на плоскости М с координатами а и b (рис. 4).
Очевидно, что при этом каждой точке плоскости соответствует определенное комплексное число, и обратно, каждому комплексному числу z соответствует единственная точка плоскости, которая служит для изображения z. В частности, действительные числа
изображаются точками оси абсцисс, чисто мнимые — точками оси ординат. Точка с координатами (0, 1) служит изображением числа i. Сопряженным числам z и z отвечают соответственно точки с координатами (а, b) и (а, - b). Очевидно, что эти точки симметричны относительно оси Ох.Плоскость хОу, которая служит для изображения комплексных чисел, называется комплексной плоскостью.
Полезно и другое геометрическое истолкование комплексного числа: число z = a + b·i рассматривается как вектор
с началом в точке О и с концом в точке М (а, b) (рис. 4).Установим над комплексными числами арифметические действия, а также действия возведения в степень и извлечения корня.
Сложение. Суммой z1 + z2 комплексных чисел z1 = a + b·i и z2 = c + d·i называется комплексное число.
Если положить в формуле (22) b = 0 и d = 0, то согласно соотношению (18) получаем справедливое равенство между действительными числами;
Символ a + b·i до сих пор рассматривался как цельный. Теперь из определения суммы следует, что комплексное число a + b·i можно рассматривать как сумму действительного числа а с чисто мнимым числом b·i.
В самом деле, согласно формулам (18), (19) и (22) имеем:
Вычитание вводится как действие, обратное сложению. Разностью z1 - z 2 комплексных чисел z1 = a + b·i и z2 = c + d·i называется такое число z:
Покажем, что для любых z1 и z2 разность z = x + y·i существует и единственна. В самом деле, согласно формуле (22)
Таким образом,
z - z = (a + b·i) - (a – b·i) = 2b·i,
Умножение. Произведением z1·z2 комплексных чисел z1 = a + b·i и z2 = c + d·i называется комплексное число
Из формул (24) и (20) вытекает, что;
1) b·i = (b + 0·i)·(0 + 1·i) = 0 + b·i = b·i,
т. е. чисто мнимое число b·i можно рассматривать как произведение действительного числа b на мнимую единицу i;
2) i·i = i2 = (0 + 1·i) ² = - 1 + 0·i = - 1+ 0·i
т. е. мнимая единица есть такое число, квадрат которого равен отрицательной единице.
Таким образом, символ a + b·i, введенный ранее как цельный, теперь можно рассматривать как сумму действительного числа а с чисто мнимым b·i, а последнее — как произведение числа b на мнимую единицу, и формула (24) получается по обычному правилу умножения буквенных двучленов с учетом равенства i2 = - 1;
3) z·z = (a + b·i)·(a – b·i) = a2 + b2, т. е. произведение двух комплексно сопряженных чисел есть действительное неотрицательное число.
Деление вводится как действие, обратное умножению. Частным
комплексных чисел z1 = a + b·i и z2 = c + d·i
называется такое число z, что z2·z = z1.Покажем, что для любого z2 ≠ 0 частное z = x + y·i единственно. В самом деле, согласно формуле (24)
(25)
z1·z2 = z2·z1, (z1·z2)·z3 = z1·(z2·z3),
(z1 + z2)·z3 = z1·z3 + z2·z3.
Если в сумме, разности, произведении и частном комплексных чисел каждое число заменить сопряженным с ним, то и результаты заменятся сопряженными с ними числами:
1)
= (a – b·i)+ (c – d·i)= (a + c) – (b + d)·i = ,2)
= (a – b·i) - (c – d·i) = (a - c) – (b - d)·i = ,3)
= (a – b·i)·(c – d·i) = (a·c – b·d) - (a·d + b·c)·i = ,4)
В этом нетрудно убедиться с помощью непосредственной проверки по формулам (22), (23), (24), (25). Отсюда вытекает следующее полезное правило.
Если в выражении, составленном из комплексных чисел, над которыми производятся арифметические действия, каждое комплексное число заменить сопряженным с ним, то и значение всего выражения заменяется на сопряженное.
Возведение в степень. Полагают
Для z≠ 0 полагают z0 = 1, z - n =
Нетрудно проверить, что при возведении комплексного числа в степень с целым показателем справедливы следующие свойства:
Для возведения в степень числа a + b·i используют формулу бинома Ньютона и уже известные степени числа i:
(27)
Таким образом, извлечение корня определяется как действие, обратное возведению в степень.
Извлечем, например, квадратный корень из действительного отрицательного числа ( – а ²) и покажем, что
.Полагая
согласно равенству (27) имеем
.
Доказано, что корень 
всегда существует и имеет
ровно n различных значений, если z ≠ 0. Очевидно, 
.Тригонометрическая форма. Комплексное число z = a + b·i геометрически изображается точкой М(а, b) или вектором
с началом в точке О и с
концом в точке М (рис. 4). Для задания комплексного числа достаточно указать изображающую его точку М или вектор . Положение точки М ранее определялось ее координатами а и
b.Однако положение точки М можно характеризовать и другим способом. Обозначим через r расстояние точки М от начала координат (т. е. длину вектора
),
а через φ — угол, который образует вектор с осью Ох, отсчитываемый от положительного направления оси (рис. 4). Очевидно, что задание величин r и φ однозначно
определяет положение точки М на плоскости.Из тригонометрии известно, что
Из формул (28) или непосредственно из рис. 4 получим, что
(30)
Угол φ называется аргументом, числа z и обозначается символом arg z. Угол φ определяется с точностью до 2·π k (k = 0, ±1, ±2, ...), так как углам φ и φ + 2·πk при одинаковом r соответствует одна и та же точка М. Аргумент не определен только для z = 0.
У равных комплексных чисел модули равны, а аргументы могут отличаться только на 2·π k.
Для перехода от алгебраической формы к тригонометрической форме удобно сначала изобразить комплексное число точкой или вектором и затем по формулам (30) найти | z | и arg z (при определении аргумента φ по найденному значению tg φ нужно учитывать координатную четверть, в которой лежит изображающая точка). Переход от тригонометрической формы к алгебраической форме очевиден.
Отметим, что если некоторое комплексное число z записано в виде
В самом деле, для этого числа z, очевидно, а = ρ·cos α и b = ρ·sin α. Тогда
Пример. Представить в тригонометрической форме следующие комплексные числа:
1) z = – 3, 2) z = 2·i, 3) z = 1 – i, 4) z = – 3 – 4·i.
Решение. 1) Отрицательные действительные числа лежат на отрицательной полуоси Ох (рис. 5). Следовательно, их аргумент равен π, а модули совпадают с абсолютными величинами этих чисел. Поэтому r = | – 3| = 3, φ = arg ( – 3) = π и – 3 = 3·(cos π + i·sin π).2) Числа вида b·i, где b > 0, лежат на положительной полуоси Оу. Следовательно, их аргумент равен
, а модуль совпадает с b 
. Поэтому
3) По формулам (30) найдем для числа z = 1- i, что
или
. Следовательно,
4) По формулам (30) найдем для числа z = – 3 – 4·i, что
.
и π < φ < 
(рис. 5).Как видно из рис. 5, φ = π + α , где α - острый угол и tg α =
. Поэтому α = arc tg . Тогда
.
Так как z1 – z2 = (а1 – a2) + (b1 – b2)·i, то
Пусть z0 и r — заданные числа, причем z0 — комплексное, а r — действительное и положительное. Рассмотрим окружность с центром в точке М0, изображающей z0, и радиусом, равным r, Обозначим через М(х, у) точку па этой окружности. Тогда комплексное число z = x + y·i удовлетворяет равенству | z – z0| = r.
Верно и обратное, т.е. из равенства | z – z0 | = r вытекает, что точка, изображающая число z, лежит на указанной окружности. Таким образом, равенство
Запишем равенство (*) в другом виде. Пусть z 0 = a +b·i , Тогда
Действия над комплексными числами в тригонометрической форме. Умножение. Пусть
z2 = r2(cos φ2 + i·sin φ2).
(32)
Деление. Имеем
(33)
Из формул (32) и (33) следует, что
arg (z1·z2) = arg z1 + arg z2,
Например, вычислим
всегда существует и имеет ровно n различных значений, если z ≠ 0.Доказательство. Пусть z = r·(cos φ + i·sin φ). Полагаем
(корень берется арифметический),
Тогда
(35)
В самом деле, для этих значений k все полученные по формуле (35) значения корней будут различны, так как их аргументы не отличаются друг от друга на число, кратное 2·π.
При k = n получаем
и соответствующий
корень совпадает с корнем, который отвечает значению k = 0.Любое другое целое k представимо в виде k = n·q + l, где q — целое, 0 ≤ l < n. Поэтому
Например, вычислим
. Имеем
:
- при k = 0
- при k = 0 ω2 = 1,
- при k = 0
