ВМ Высшая математика
Главная Школьная математика Глава 1

ВВЕРХ

Пример 1
Пример 2
Пример 3
Пример 4
Пример 5
Пример 6
Пример 7
Пример 8
Пример 9
Оглавление
Предметный указатель
Литература
Для доступа к меню нажмите правую кнопку мыши

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

   Рассмотрим некоторые задачи на комплексные числа.
   Пример 1. Найти действительные числа х и у, если
(5·x-3·y) + (x - 2·y)·i = 6 + (8 - x + y)·i.
   Решение. Используя условие равенства комплексных чисел, получаем
Из этой системы определяем неизвестные х и у:
   Пример 2. Возвести в степень (1 + i)20, (1 - i)21.
   Решение. Можно воспользоваться формулой бинома Ньютона, но проще поступить по - другому. Заметим, что
(1 + i) ² = 2·i , (1 - i) ² = - 2·i.
Тогда
(1 + i )20 = [(1 + i ) ²]10 = (2·i)10 = -210;
(1 - i)21 = [(1 - i) ²]10· (1 - i) = (- 2·i)10 · (1 - i ) = -210·(1 - i ).
   Пример 3. Извлечь корень .
   Решение. Пусть = x + y·i. По определению корня имеем
(x + y·i)2 = 5 + 12·i,
или
(x ² + y ²) + 2·x·y·i = 5 + 12·i
откуда получаем систему
                     (*)
Возведя оба уравнения в квадрат и сложив их, получим
(х ² + у ²) ² = 25 + 144 и х ² + у ² = 13.
Тогда из системы
определим неизвестные х и у:
x = ± 3, y = ± 2.
Из второго уравнения системы (*) следует, что знаки х и у совпадают. Поэтому x1 = 3, у1 = 2; х ² = —3, у ² = —2. Итак,  имеет два значения
3 + 2·i и — 3 — 2·i.
   Пример 4. На множестве комплексных чисел решить уравнение z ² + |z| = 0.
   Решение. Пусть z = (x + y·i). Тогда
z ² = (x + y·i) ² = (x ² – y ²) + 2·x·y·i = 0,
и данное уравнение можно записать в виде
Последнее возможно тогда и только тогда, когда
                     (*)
Из второго уравнения системы (*) следует, что либо  x = 0, либо y = 0.
   Если х = 0, то первое уравнение (*) принимает вид
, т.е. - у ² + | у |=0.
Так как у ² = | у | ² (по свойству абсолютной величины действительного числа), то имеем
| у |·(| у | - 1) = 0,
откуда либо | y | = 0, либо | у | - 1 = 0.
   Таким образом, при х = 0 имеем: y1 = 0, у2 = 1, y3 = - 1.
   Если y = 0, то из   первого   уравнения  системы (*) получим, что т.е. х2 + | х | = 0. Но это возможно только при х = 0 (ведь х — действительное число!).
   Итак, данное уравнение имеет три корня:
zl = 0, z2 = i, z3 = - i.
   Пример 5. Комплексные числа удовлетворяют условию | z - i | =  | z + 2 |. Где расположены точки, изображающие эти числа?
   Решение. Используем геометрический смысл модуля разности. Модули |z — i| и |z + 2| = |z – (- 2)|. равны соответственно расстояниям от точки, изображающей число z, до точек А (0, 1) и В ( - 2, 0).
   По условию эти расстояния равны. Следовательно, решением задачи будет геометрическое место точек, равноудаленных от точек А и В, т. е. перпендикуляр, проведенный через середину отрезка АВ.
   Пример 6. Комплексные числа удовлетворяют условиям 1 <| z | < 2, . Где расположены точки, изображающие эти числа?
   Решение. Так как 1 < | z | < 2, то точки, удовлетворяющие этому условию, лежат внутри кольца, ограниченного окружностями с центром в точке О и радиусами 1 и 2. Поскольку же
,
решению задачи удовлетворяют только точки, лежащие внутри области, изображенной на рис. 6.
   Пример 7. Среди комплексных чисел, удовлетворяющих условию | z – 25·i | ≤ 15, найти число, имеющее наименьший аргумент.
   Решение. Условию | z – 25·i | ≤ 15 удовлетворяют только числа, изображаемые точками, которые лежат внутри и на границе круга с центром в точке С (0,25) и радиусом 15. Очевидно, числу с наименьшим аргументом отвечает точка М, в которой прямая ОМ касается окружности. Из прямоугольного треугольника ОМС найдем, что
Поэтому x = OM ·cos α = 12, у = ОМ·sin α = 16, значит искомое число
z = 12 + 16·i.
   Пример 8. Представить в тригонометрической форме комплексное число
z = l + i·tg α, где α — данный угол, причем: а) 0 < α < , б) < α <π.
   Решение. Преобразуем данное число z:
так как число  при 0 < α <  и в скобке стоит косинус и синус одного и того же аргумента, то полученное выражение есть тригонометрическая форма числа z;
   б) при < α <π число < 0 и, значит, выполненное выше преобразование не дает тригонометрической формы числа z.
   Преобразуем z по-другому:
что и дает тригонометрическую форму числа z при условии  < α < π.
   Пример 9. Найти аргумент числа ω = z2- z, если известно, что z = cos φ + i·sin φ, 0 ≤ φ < 2·π.
   Решение. Имеем:
ω= (cos φ + i·sin φ) ² — (cos φ + i·sin φ) = (cos ²φ + i·sin ²φ + 2·i·cos φ·sin φ) — (cos φ + i·sin φ) = (cos 2φ - cos φ) + i·(sin 2φ — sin φ).
Преобразуя выражения в скобках, получаем, что
При 0 < φ < 2π число  и полученное выражение есть тригонометрическая форма числа ω. Поэтому 
   При φ = 0 число , откуда ω = 0. В этом случае аргумент числа ω не определен.
© В.А. Глазнев
На главную