Пример 1
Пример 2
Пример 3
Пример 4
Пример 5
Пример 6
Пример 7
Оглавление
Предметный указатель
Литература

ГЛАВА XI
ЗАДАЧИ НА ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В ТРИГОНОМЕТРИИ

   Все требования, предъявляемые к тождественным преобразованиям и рассмотренные в главе II (равенства и алгебраические преобразования), в равной степени относятся и к тригонометрии (область допустимых значений букв, входящих в тождество, обоснование решения и т. д.см. гл. II).
   При решении задач на тождественные преобразования используются те же тождества, которые мы рассмотрели в IX и X главах. Будем называть все эти тождества основными или первичными.
   Первичных тождеств очень много. Неудачный выбор их при решении той или иной задачи приводит к громоздкому, нерациональному решению, а порою и вовсе заводит в тупик.
   Естественно, что нельзя дать общий "рецепт" решения всех задач. Приведем лишь некоторые различные типы задач на тождественные преобразования и методы их решения.

§ 1. УПРОЩЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ

   Умение преобразовать к простейшему виду то или иное тригонометрическое выражение играет основную роль в задачах тригонометрии (особенно при решении тригонометрических уравнений).
   Если тригонометрическое выражение содержит тригонометрические функции числовых аргументов, то в общем случае следует перейти к тригонометрическим функциям острых углов, выраженных в градусах или радианах.
   Пример 1. Упростить выражение
   Решение. Имеем

ctg 305° = ctg (270° + 35°) = - tg 35°,

cos 125° = cos (90° + 35°) = - sin 35°,
sin 125° = sin (90° + 35°) = cos 35°,
A = (- 1 + sin²35°) : cos²35° = - 1.
   Пример 2. Упростить выражение
В = tg2 (- 4,7 π) · cos2 (- 7,8 π) + sin2 (- 11,7π).
   Решение. Имеем
tg(- 4,7π) = - tg(5π - 0,3π) = tg 0,3π = ctg 0,2π,
cos(-7,8 π) = cos(8π - 0,2π) = cos 0,2π;
sin(- 11,7π) = - sin (12π - 0,3π) = sin 0,3π = cos 0,2π.
Подставляя полученные результаты в данное выражение, получаем
В = ctg2 0,2π·cos2 0,2π + cos2 0,2π = cos2 0,2π·(ctg2 0,2π + 1) = ctg20,2π.
   В отдельных случаях выражение удается упростить, выделяя в нем так называемую тригонометрическую единицу (sin2x + cos2 х)k = 1, где k целое.
   Пример 3. Упростить выражение
А = 2 (sin4 х + sin2 x · cos2 x + cos4 x)2 - (sin8 x + cos8 x).
   Решение. Замечая, что получаем
A = 2 (1 - sin2 x cos2 x)2 - (1 - 4 sin2 x cos2 x + 2 sin4 x · cos4 x) = 1.
При тождественных преобразованиях нужно хорошо знать все основные тождества и "видеть" их в самых разнообразных записях.
   Пример 4. Упростить выражение
А = cos3 α · cos Зα + sin3 α·sin Зα.
   Решение. Имеем
A = cosα (1 - sin2 α) cos Зα + sin α (1 - cos2 α) sin Зα.
Раскрывая скобки и группируя, получаем
А = (cos α cos Зα + sin α·sin 3α) - sin α cos α (sin α cos 3α + cos α sin 3α) =
= cos (3α - α) - sin α · cos α·sin (α + 3α) = cos 2α - sin2 2α·cos 2α = cos 2α (1 - sin22α) = cos3 2 α.
В большинстве задач в процессе решения приходится использовать различные основные тождества несколько раз подряд.
   Пример 5. Упростить выражение
A =cos2 (a - x) + cos2 (b - х) - 2 cos (a - b) cos (a - x) cos (b - x).
   Решение. Нецелесообразно пользоваться здесь формулой косинуса разности двух углов. Это приведет к очень громоздкому выражению. Проще вначале избавиться от квадратов функций с помощью формул понижения степени. Тогда
Воспользовавшись теперь формулой сложения косинусов, получаем
В = 1 + cos (a + b - 2x) cos(a - b).
Теперь видим, что произведение двух последних сомножителей в выражении А нужно разложить в сумму:
С = 2 cos (а - х)·cos (b - х) = cos (a + b - 2х) + cos (a - b).
Окончательно получаем
А = В - C·cos(a - b) = 1 + cos (a + b - 2x) cos(a - b) - cos (a + b - 2x) cos (a - b) - cos2 (a - b) =
= 1 - cos2 (a - b) = sin2 (a - b).
При действиях с радикалами нужно помнить, что для четного показателя берется арифметическое значение корня, для нечетного - его единственное действительное значение.
   Пример 6. Упростить выражение
   Решение. Имеем
2 + 2 cos 4α = 2 (1 + cos 4α) = 4 cos2 2α.
Поэтому
Ho | cos 2α | = cos 2α, если cos 2α ≥ 0, т, е. если 0 ≤ α ≤ , и |cos 2α| = - cos 2α, если cos 2α ≤ 0, т. е. ≤ α ≤ .
   Таким образом,
   Дальнейшие преобразования проводим отдельно для каждой из указанных областей изменения α.
  1. Если 0 ≤ α ≤ , то , так как cos α > 0.
  2. Если ≤ α ≤ , то , так как sin α > 0.
   Итак,
   В отдельных примерах при преобразовании суммы или разности тангенсов (и котангенсов) полезно пользоваться формулами
   Пример 7. Упростить выражение
А = tg 2α·tg (30° - α) + tg 2α·tg (60° - α) + tg (60° - α)·tg (30° - α).
   Решение. Область допустимых значений: 2α, 30° - α, 60° - α не равны 90° + 180°·k. Имеем
В = tg 2α [tg (30° - α) + tg (60° - α)] = tg2α·tg(30° - α + 60° - α)·[ l - tg(30° - α)·tg(60° - α)] =
= tg 2α·ctg 2 α·[ 1 - tg (30° -α)·tg (60° - α)] = 1 - tg (30° - α)·tg (60° - α).
Тогда A = B + tg(60° - α)·tg(30° - α) = l.