Пример 1
Пример 2
Пример 3
Пример 4
Пример 5
Пример 6
Пример 7
Пример 8
Оглавление
Предметный указатель
Литература

§ 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ ПО ИЗВЕСТНЫМ ЗНАЧЕНИЯМ ДРУГИХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ

   Эта задача состоит в том, чтобы вычислить значение заданного выражения, если известны значения одного или нескольких других выражений. С подобной задачей мы уже встречались в главе IX, когда по известному значению некоторой тригонометрической функции аргумента α определяли значения всех остальных тригонометрических функций этого аргумента.
   Один из приемов решения таких задач состоит в том, что все величины, входящие в выражение, значение которого нужно определить, мы выражаем через ту величину, значение которой задано.
   Пример 1. Вычислить
, если tg x = 2.
   Решение. Мы не можем вычислить непосредственно sin x и cos x по известному значению тангенса этого угла, так как не знаем, в какой четверти лежит угол х, и поэтому не сумеем выбрать знаки у функций синус и косинус. Этой неопределенности можно избежать, если сообразить, что числитель и знаменатель можно сделать однородными выражениями одного и того же измерения относительно sin x и cos x (см. гл. XIII). В самом деле,
Теперь, разделив числитель и знаменатель на cos5x и заметив, что , получаем
   Пример 2. Найти , если и < α < π.
   Решение. Выразим через sin α. Имеем
(Перед радикалом взят знак " − ", так как α - угол II четверти.) Замечая, что l + sin α > 0, находим
Исследуем, при каких значениях параметров а и b задача имеет решение. Так как α - угол II четверти, то . Это неравенство равносильно совокупности двух систем
Из первой системы следует, что а > b > 0, а из второй а < b < 0. Итак, данная задача имеет решение для всех тех значений а и b, которые удовлетворяют одному из условий:
а > b > 0 или а < b < 0.
   Пример 3. Вычислить tg 2x + tg 2y, если
   Решение. Выразим tg 2x + tg 2y через tg x + tg y и tg x·tg y, значения которых заданы. Имеем
Задача имеет решение для всех значений а и b, не обращающих в нуль знаменатель полученной дроби, т.е. при условии, что 1 + b ≠ ± a.
   В других случаях удобнее преобразовать то выражение, значение которого известно.
   Пример 4. Вычислить
А = sin2 α + sin2 β + sin2 γ.
если
2 tg2α·tg2β·tg2γ + tg2β·tg2γ + tg2γ·tg2α + tg2α·tg2β = l.
   Решение. Введем обозначения: sin2α = a, sin2β = b, sin2γ = с. Тогда и задача сводится к определению величины А = а + b + с, если
,                        (*)
После приведения равенства (*) к общему знаменателю и очевидных преобразований получаем
а + b + с = 1.
Итак, sin2α + sin2β + sin2γ = 1.
   В некоторых случаях рассматриваемые примеры решаются комбинированным методом: из данных задачи находят численное значение некоторых вспомогательных выражений, через которые в свою очередь выражают искомую величину.
   Пример 5. Найти значение выражения
a sin2 (α + β) + b sin (α + β)·cos (α + β) + с cos2 (α + β),
если tg α и tg β - корни уравнения а х2 + bx + с = 0.
   Решение. Считаем, что а ≠ 0, так как в противном случае уравнение a x2 + b x + с = 0 не было бы квадратным.
   По теореме Виета
откуда следует, что для α + β ≠ + π k
(Из последнего равенства вытекает, что требование α + β ≠ + π k равносильно требованию с - а ≠ 0 .)
   Теперь преобразуем искомое выражение. Обозначая его через A, имеем
   Мы получили, что А = с, при условии, что а ≠ с. Если а = с ≠ 0, т. е. α + β ≠ + π k, то
cos (α + β) = 0, sin2(α + β) = l
и в этом случае также А = с. При а = 0 задача не имеет смысла.
   Пример 6. Найти sin (α + β), если
a cos α + b sin α = a cos β + b sin β.
   Решение. Преобразуя заданное равенство, имеем
a (cos α - cos β) = b (sin β - sin α);
.                     (*)
   Исследуем равенство (*).
  1. Пусть = 0, т.е. β - α = 2 π n. При этом условии равенство (*) является тождеством и, следовательно, sin (α + β) может принимать любое значение в пределах от -1 до 1. Задача становится неопределенной.
  2. Пусть ≠ 0, т.е. β - α ≠ 2 π n. Сокращая обе части равенства (*) на , имеем равенство
                        (**)
Коэффициенты а и b не могут обращаться в нуль одновременно (задача становится неопределенной). Поэтому допустим, что а ≠ 0. Из этого вытекает, что также не нуль.
   В самом деле, если допустить, что = 0, то из равенства (**) следовало бы, что и = 0 (а ≠ 0 !), что невозможно ( ).
   Тогда, разделив все члены равенства (**) на , имеем и
.                        (***)
Если a = 0, то b ≠ 0. Тогда из равенства (**) следует, что = 0, и поэтому
Заметим, что этот результат содержится в равенстве (***), если положить в нем b = 0.
   Итак, при условии, что β - α ≠ 2 π n.
   Иногда к данным равенствам удобно присоединить некоторые основные тождества, содержащие те же функции, что и заданные равенства.
   Пример 7. Вычислить sin x и cos x, если
a sin х + b cos x = с.
   Решение. Задача имеет смысл, если . Присоединяя к данному равенству тождество sin2x + cos2x = 1, получаем систему двух уравнений относительно функций sin x и cos x:
Решая ее, находим
   В некоторых случаях проще вычислить квадрат искомого значения. Тогда при переходе к самому значению, т. е. при извлечении корня, могут появиться лишние решения. Поэтому при таком методе решения необходимо провести исследование знака искомого значения.
   Пример 8. Вычислить значение , если sin 2α = m, - 1 < m < 0, < 2 α < 2 π.
   Решение. Вычислим сначала A2. Имеем
Проведем исследование знака А. Так как < 2 α < 2 π, то . Если α лежит в этих пределах, то | sin α | < | cos α |, причем sin α > 0, а cos α < 0. Поэтому sin α + cos α < 0, sin α - cos α > 0 и А < 0. Поэтому .    Исследование знака искомого числового значения иногда бывает столь затруднительно, что проще вычислить значение А непосредственно. Даже в этом примере, где исследование проводится довольно просто, удобнее вычислять значение А сразу.
   В самом деле,
(, так как 2α оканчивается в IV четверти).