Пример 1
Пример 2
Пример 3
Пример 4
Пример 5
Пример 6
Оглавление
Предметный указатель
Литература

§ 8. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ

    При доказательстве тригонометрических неравенств используются те же приемы, что и при доказательстве неравенств, рассмотренных в курсе алгебры (см. гл. II, § 8).
   Приведем несколько примеров, иллюстрирующих различные методы доказательства.
   В некоторых случаях тригонометрическое неравенство можно свести к алгебраическому.
   Пример 1. Доказать неравенство
4 sin 3α + 5 ≥ 4 cos 2α + 5 sin α.
   Решение. Обозначая sin α = a и используя тождества sin З α = 3 sin α - 4 sin³ α, cos 2α = l - 2 sin² α, мы можем данное условие переписать в виде 4 (За - 4а³) + 5 ≥ 4 (1 - 2 а²) + 5 а, где | а | ≤ 1. После соответствующих преобразований получаем
16а3 - 8 а2 - 7 а- 1 ≤ 0, или (а - 1) (4 а + 1)2 ≤ 0.
Последнее очевидно, так как a - 1 ≤ 0.
   Заметим, что знак равенства имеет место в том и только в том случае, когда sin α = 1 и sin α = 1/4.
   Пример 2. Доказать, что tg2 α + tg2 β + tg2 γ ≥ 1, если α + β + γ = .
   Решение. Область допустимых значений состоит из всех α, β и γ не равных + k π.
   Из условия α + β + γ = следует, что tg α·tg β + tgβ·tg γ + tg γ·tg α = l (предлагаем читателю доказать это). Если положить tg α = a, tg β = b, tg γ = с, то доказательство данного неравенства сводится к доказательству алгебраического неравенства a2 + b2 + с2 ≥ a b + b c + c a при условии a > 0, b > 0, с > 0. Это неравенство мы доказали (см. гл. II, § 8).
   При доказательствах некоторых неравенств полезно использовать уже известные неравенства sin α < α и tg α > α, справедливые для 0 < α < .
   Пример 3. Доказать, что α - tg α > β - tg β, если 0 < α < β < .
   Решение. Имеем tg β - tg α = (l + tg α·tg β) tg(β - α). Так как tg α > 0, tg β > 0, tg(β - α) > β - α, то tg β - tg α > β - α, откуда следует, что α - tg α > β - tg β.
   Пример 4. Доказать, что cos α + α sin α > 1, если 0 < α < .
   Решение. Так как sin α < α и cos α < 1, то sin2 α < α sin α и cos2 α < cos α. Складывая эти неравенства, получаем
cos α + α sin α > 1.
   В некоторых случаях полезно найти области изменения правой и левой частей заданного неравенства.
   Пример 5. Доказать, что | sin α + cos α | < | tg α + ctg α |, α ≠ ·k.
   Решение. Так как , то
.
С другой стороны,
.
Отсюда следует, что
| sin α + cos α | < | tg α + ctg α |.
   При доказательстве некоторых неравенств можно использовать метод математической индукции.
   Пример 6. Доказать, что tg nα > n tg α, если , где n = 2, 3, …
   Решение. При n = 2 имеем 0 < α < , 0 < tg α < 1, , поэтому tg 2α > 2 tg α.
   Допустив теперь, что tg nα > n tg α, если , докажем, что tg (n + l)α > ( n + l) tg α, если . Имеем ( n + l) tg α = n tg α + tg α. Согласно нашему допущению отсюда следует, что
(n + 1) tg α < tg nα + tg α.
Но
tg nα + tg α = (l - tg nα ·tg α) tg (n + l)α.
Поэтому
(n + l) tg α < (l - tg nα·tg α) tg (n + l)α.                     (*)
Оценим множитель 1 - tg nα·tg α. Так как 0 < nα <, то 0 < tg nα < 1. Поэтому 0 < tg nα·tg α < 1 и 0 < 1 - tg nα·tg α < 1. Учитывая последнее неравенство, из неравенства (*) получаем, что (n + l) tg α < tg ( n + l)α, что и требовалось доказать.