12_3

ВВЕРХ

Определение функции y = arctg x

Свойства функции y = arctg x

График функции y = arctg x

Многозначная функция y = Аrctg x

Определение функции y = arcctg x

График функции y = arcctg x

Свойства функции y = arcctg x

Многозначная функция y = Аrcctg x

Замечание

Оглавление

Предметный указатель

Литература

Для доступа к меню нажмите правую кнопку мыши

§ 3. АРКТАНГЕНС И АРККОТАНГЕНС

На интервале (-

) функция у = tg x - монотонно возрастает от - ∞ до ∞ и принимает при этом все действительные значения.
Следовательно, существует обратная ей однозначная функция, определенная на всей числовой оси и монотонно возрастающая от -

, до

. Эта обратная функция обозначается символом х = arctg y("х равен арктангенсу у") или y = arctg х, (13) если аргумент обозначать через х.
Таким образом, функцией у = arctg x называется переменная величина у, лежащая в интервале (-

), тангенс которой равен х.
Из этого определения следует, что tg (arctg x) = х для любого действительного х [ arctg (tg x) = х в том случае, когда | х | <

.
График этой функции может быть получен зеркальным отображением относительно биссектрисы I и III координатных углов ветви тангенсоиды, соответствующей интервалу (-

) (смотри рисунок.).
Итак, функция у = arctg х;

1) определена и однозначна на всей числовой прямой;
2) монотонно возрастает от - до принимая при этом все промежуточные значения:
3) является нечетной функцией, т. е. arctg (- х) = - arctg x.

   Многозначная функция, обратная функция y = tg x, рассматриваемой во всей области ее существования, обозначается символом Y = Arctg х. Таким образом, Y = Arctg x есть множество всех чисел Y, тангенс которых равен х, т. е. tg Y = x.                        (14) Найдем все эти значения Y. С этой целью возьмем y₀ = arctg x. Сравнивая равенство tg y₀ = x с равенством (14), имеем tg y₀ = tg Y, откуда следует, что Y = у₀ + πn.
   Итак, все значения Y = Arctg х, т. е. все числа, тангенс которых равен х, заключены в формуле Arctg х = arctg х + πn                        (15)    На интервале (0, π) функция у = ctg x монотонно убывает от + ∞ до - ∞ и принимает все действительные значения. Следовательно, существует обратная ей однозначная функция, определенная на всей числовой оси и монотонно убывающая от π до 0.
   Эта функция обозначается символом х = arcctg у, или у = arcctg х, если аргумент обозначать через х.
   Таким образом, функцией y = arcctg x называется переменная величина у, лежащая в интервале (0, π), котангенс которой равен х.
Из этого определения вытекает, что ctg (arcctg x) = x для любого действительного х [arcctg (ctg x) = х в том случае, когда 0 < х < π].
   График этой функции дан на рисунке (смотри рисунок.).
    Мы видим, что функция у = arcctg x:

1) определена и однозначна на всей числовой прямой;
2) монотонно убывает от π до 0, принимая при этом все промежуточные значения;
3) так же, как и арккосинус, arcctg x не является ни четной, ни нечетной функцией.

Так, например, arcctg 1 =

. (ctg

= 1), a arcctg(-1) =

(ctg

= - l).
Все значения Y, котангенс которых равен х, записываются символом Y = Arcctg x и заключены в формуле Arcctg х = arcctg х + πn (16) (доказательство предоставляется читателю).
Замечание. Вместо промежутков [-

] и (-

) для синуса и тангенса, [0, π] и (0, π) - для косинуса и котангенса можно рассматривать другие промежутки монотонности этих функций. Каждому такому промежутку будет соответствовать обратная однозначная функция. Таким образом, каждая многозначная функция y = Arcsin x, y = Arccos x, Y = arctg x и Y = Arcctg x имеет бесконечное число однозначных ветвей, среди которых находятся функции у = arcsin х, y = arccos x, y = arctg x и у = arcctg x. Последние называются главными однозначными ветвями обратных тригонометрических функций, или, проще, их главными значениями.