§ 4. ОСНОВНЫЕ ТОЖДЕСТВА

1. При всех допустимых значениях аргумента х справедливы тождества acrsin х + arccos х = ,                        (17) arctg x + arcctg x = .                        (18)    Докажем одно из них, например (18).
      Переписав его в виде arctg x = - arcctg x:, вычислим тангенс числа - arcctg х.
      По формулам приведения tg ( - arcctg x) = ctg (arcctg x) = х. Так как 0 < arcctg х < π, то - < - arcctg x < . Таким образом, два числа arctg x и - arcctg x, заключенные в одном интервале ( - , ), имеют равные значения тангенса: tg (arctg x) = tg ( - arcctg x). Отсюда следует равенство этих аргументов, т. е. arctg х = - arcctg x, или arctg x + arcctg x = .    Аналогично доказывается тождество (17). Отметим еще одну пару тождеств.
2. При всех допустимых значениях аргумента х справедливы тождества arccos (- х) = π - arccos x,                        (19) arcctg (- x) = π - arcctg x.                        (20)    Докажем одно из них, например (19). Имеем cos [arccos (- х)] = - х и cos (π- arccos х) = - cos (arccos x) = - х, т. е. cos [arccos (- х)] = соэ(π - arccos x). Так как 0 ≤ arccos α ≤ π для любого | α | ≤ 1, то 0 ≤ arccos (- х) ≤ π и 0 ≤ π - arccos х ≤ π. Таким образом, числа arccos (- х) и π - arccos x, заключенные в одном промежутке [0, π], имеют равные значения косинуса. Следовательно, эти числа равны, т. е. arccos (- х) = π - arccos x. Второе тождество доказывается аналогично.