ВВЕРХ
Для доступа к меню нажмите правую кнопку мыши
§ 6. РЕШЕНИЕ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ
Тригонометрическое уравнение — пример трансцендентного уравнения. К этому же классу уравнений относятся логарифмические и показательные уравнения, уравнения, связанные с аркфункциями, и т. д.
В этом параграфе рассмотрим несколько уравнений «смешанного» типа.
Пример 1. Решить уравнение,
cos (π lg х) + sin (π lg х) = 1.
Решение. Преобразуя левую часть уравнения, получаем равносильное данному простейшее уравнение 
, откуда следует, что 
, или 
. Мы получили логарифмическое уравнение. Решая его, находим, что
.
Если n = 2k, то х = 102k; если n = 2k + l, то х = 10½ + 2k.
Пример 2. Решить уравнение
.
Решение. Используя тождество а3 + b3 = (a + b)3 - 3 a b (a + b), где 
, получаем уравнение 
, или lg2tg x = 0, равносильное данному. Из последнего уравнения следует, что
tg x = l и
x = 
+ πn.
Пример 3. Решить уравнение sin (π arctgx) =соs(π arctgx).
Решение. Данное уравнение равносильно уравнению
tg (π arctg x) = l,
откуда следует, что π arctg х = + nπ, где n — целые числа, для которых
или 
.
Решая это неравенство относительно n, находим, что n = 0, n = - 1 и n = 1. Следовательно, мы имеем три уравнения
из которых получаем
Пример 4. Решить уравнение
log2 (arctg x) + log2 (arcctg x) = а.
Решение. Потенцируя данное уравнение, получаем уравнение arctg х·arcctg x = 2а, равносильное данному, при условии, что arctg x > 0 и arcctg х > 0 (т. е. х > 0).
Преобразуя полученное уравнение к виду
arctg х (
- arctg x ) = 2a,
решаем это квадратное уравнение. Имеем
.
Исследуя полученную формулу, видим, что она дает решение данного уравнения при условии, что π2 - 24+а ≥ 0 и 
.
Первое и второе неравенства выполняются при a ≤ 2 log2π − 4. При этих условиях
Пример 5. Решить уравнение
Решение. Полагая 2x + 2 = y (у > 0), перепишем уравнение в виде 
, или 
, множество допустимых значений которого состоит из всех значений у, заключенных в промежутке 
. Приравнивая синусы обеих частей последнего уравнения (при этом мы можем получить лишние корни!), имеем
Отрицательное значение у отбрасываем. Возвращаясь к аргументу х, получаем 2x + 2 = 1/2, х + 2 = − 1, х = − 3. Проверка показывает, что х = − 3 удовлетворяет данному уравнению.
Рассмотрим несколько неравенств «смешанного» типа.
Пример 6. Решить неравенство
Решение. Полагаем 
(1 ≤ y ≤ 4), тогда
и данное неравенство равносильно системе алгебраических неравенств
решая которую, находим, что 2 ≤ y ≤ 4 . Следовательно,
,
откуда 1/2 ≤ sin 2x ≤ l и 
. Следовательно,
,
Пример 7. Решить неравенство
(log tg x3)2 < log tg x(3 tg2x).
Решение. Очевидно, πk < х < + πk и + πk < х < + πk ( tg x > 0 и tg x ≠ l). Логарифмируя правую часть неравенства и полагая log tg x3 = y, получим алгебраическое неравенство у2 - у - 2 ≤ 0, решением которого является отрезок - l ≤ y ≤ 2, откуда
- 1 ≤ log tg x 3 ≤ 2 (*)
Для решения неравенства (*) рассмотрим два случая.
- 1) 0 < tg x < 1. Тогда log tg x 3 < 0 и тем более log tg x 3 < 2. Поэтому система (*) сводится к одному неравенству
log tg x 3 ≥ − 1, т, е.
.
Отсюда находим, что 0 < tg x ≤ 1/3 и
πk < х ≤ arctg (1/3) + πk;
- 2) tg x > 1. Тогда log tg x3 > 0 и тем более log tg x3 ≥ 1. Следовательно, двойное неравенство (*) сводится к неравенству log tg x3 ≤ 2, откуда tg х ≥
(tg x > 0) и 
+ πk ≤ х < + πk.
Окончательное решение состоит из промежутков
πk < х ≤ arctg (1/3) + πk и + πk ≤ х < + πk.
Пример 8. Найти все значения х, лежащие в промежутке 1 < х < 10 и удовлетворяющие неравенству
.
Решение. Преобразуем выражение, стоящее в квадратных скобках:
После этого данное неравенство примет вид
sin π (2 + log4 х) − cos π (2 + log4 х) ≤ - 1
(так как при 1 < х < 10 выражение 2 + log4 х > 0). Полагая, далее, у = π (2 + log4 х), свернем левую часть неравенства:
sin у - cos y ≤ − 1,
откуда
Отсюда следует, что
Заменим у его значением: 
, откуда
,
т. е.
. (*)
Остается выбрать те значения k, при которых отрезки (*) или их части попадают внутрь интервала (1, 10). Очевидно, это имеет место лишь при k = 1, для которого 8 ≤ x ≤ 16. Следовательно, искомые значения х лежат в промежутке 8 ≤ х < 10.