14_4

Пример 1

Пример 2

Оглавление

Предметный указатель

Литература

Для доступа к меню нажмите правую кнопку мыши

ГРАФИК ПРОИЗВЕДЕНИЯ ДВУХ ФУНКЦИЙ

   Геометрическое перемножение ординат весьма затруднительно. Но анализ произведения двух функций y = f₁(x)·f₂(x) все же часто облегчается, если предварительно построить графики функций y₁ = f₁(х) и y₂ = f₂(х).
   При анализе особенное внимание следует обращать на точки, где функции y₁ и y₂ равны 0, 1 и - 1.
   Пример 1. Построить график функции y = x (x² − 1).
   Полагая y₁ = х, y₂ = х² - 1, строим эти графики (чёрная и синяя линии).
   Функция y₁-нечетная, а функция y₂- четная и поэтому функция у будет нечетной. Поэтому дальнейший анализ будем проводить для х ≥ 0. Имеем:

- при х = 0 значение y₁ = 0 и поэтому у = у₁ у₂ = 0;
- при х = 1 значение y₂ = 0 и поэтому у = 0;
- при 0 < х < 1 имеем y₁ > 0, а у₂ < 0 и поэтому у = у₁ у₂ < 0;
- в точке, где у₂ = 1, значение у = у₁ у₂ = у₁;
- для x, при которых у₁ > 1 и у₂ > 1, величина y будет быстро расти с увеличением х (быстрее, чем у₂).

   Используя эти рассуждения, получаем, что искомым графиком является кривая, изображенная на рисунке (красная линия) (смотри рисунок.).
   Замечание. Этот график можно также получить как график суммы у = х³ + (− х).
   Пример 2. Построить график функции y = x·sin x.
   Замечаем, что функция у как произведение двух нечетных функций будет четной функцией и поэтому анализ будем проводить для х ≥ 0. Строим графики функций у₁ = х и y₂ = sin x.
   В точках, где y₂ = sin x = 0, получаем у = у₁ у₂ = 0.
   В точках, где y₂ = sin x = l, имеем у = у₁ у₂ = у₁, а в точках, где sin x = − 1, получим у = у₁ у₂ = − у₁ = − х (строим график функции y₃ = − x).
   Отметив ряд таких точек и учитывая, что для промежуточных точек | у | = | x sin x | < | х |, получаем искомый график (красная линия) (смотри рисунок.).
   На промежутке х < 0 график получается симметричным отображением относительно оси Оу.
   (смотри рисунок.).