ГРАФИК ФУНКЦИИ

• Пример 1. Построить графики функции .
     Так как функция y₁ = sin x нечетная и периодическая, то и функция также нечетная и имеет тот же период. Поэтому достаточно построить график на промежутке (0, π). Сначала строим график y₁ = sin x для этого промежутка (чёрная линия). Так как sin x = 0 в точках х = 0 и х = π, то поэтому прямые х = 0 и х = π будут вертикальными асимптотами. Исследуем поведение функции вблизи асимптот.
     При х → 0 справа и х → π слева значение у → + ∞. Точка ( , 1) общая у обоих графиков. Далее, отмечая точки y₁ и 1/y₁ , где sin x = y₁, находим соответствующие точки. Соединив полученные точки плавной кривой, получим график функции на промежутке (0, π) и, отражая его симметрично относительно начала координат, получим график данной функции для промежутка (− π, 0), а затем в силу ее периодичности и вне промежутка (− π, π).
• Пример 2. Построить графики функции .
     Строим график функции у₁ = х² − 1. График функции у₁ = х² − 1 симметричен относительно оси ординат и поэтому график искомой функции также будет симметричен относительно оси ординат.
     Прямая х = 1 будет вертикальной асимптотой: при х → 1 справа значение y → + ∞, а при х → 1 слева значение у → − ∞. Ось абсцисс будет горизонтальной асимптотой, так как при х → ± ∞ получаем, что → 0, оставаясь положительным.
     Точки графика функции у₁ = х² − 1, где y₁ = 1 и y₁ = − 1 будут общими у обоих графиков. Используя результаты исследования, получаем, что искомым графиком является кривая, изображенная на рисунке.
• Пример 3. Построить график функции .
     Строим вспомогательный график функции у₁ = 2^х - 1. Замечаем, что при х = 1 значение у₁ = 1 и, следовательно, у = 1/y₁ = 1, т.е. точка(1, 1) - общая у обоих графиков. При изменении х от 1 до + ∞ значения у₁ быстро и неограниченно возрастают и, следовательно, значения у будут быстро и неограниченно уменьшаться ( при х → + ∞ значение у₁ → + ∞, а у = 1/y₁ → 0), т.е. ось Ох является горизонтальной асимптотой искомого графика. При изменении х от 1 до 0 значения у уменьшаются также от 1 до 0, а следовательно, значения у = 1/y₁ будут неограниченно возрастать от 1 до + ∞, т. е. ось Оу служит вертикальной асимптотой искомого графика.
     При построении графика для х < 0 возьмем за исходную точку х = − 1, для которой у₁ = − 1/2, а у = 1/y₁ = − 2. Тогда получаем:
  • при изменении х от − 1 до 0 переменная у₁ изменяется от 1/2 до 0, оставаясь отрицательной, а следовательно, значения у = 1/y₁ будут изменяться от − 2 до − ∞ (график асимптотически приближается к отрицательной полуоси Оу);
  • при изменении х от − 1 до − ∞ переменная y₁ изменяется от − 1/2 до - 1 (вернее, стремится асимптотически к − 1, оставаясь по абсолютной величине меньше 1), а следовательно, у = 1/y₁ будет изменяться от − 2 до − 1 (вернее также стремится асимптотически к − 1, но уже оставаясь по абсолютной величине больше 1).
     Таким образом, искомый график имеет вид кривой, изображенной сплошной линией на рисунке.
• Пример 4. Построить график функции .