ГРАФИК ЧАСТНОГО ДВУХ ФУНКЦИЙ
Все сказанное о произведении двух функций в равной степени относится и к частному двух функций.Построив на одном чертеже графики функций y1 = f1(x) и y2 = f2(x), путем их анализа исследуем, как в зависимости от х изменяется частное у = f1(x) : f2(x), и тем самым получаем общий вид искомого графика, который всегда можно уточнить с помощью таблицы значений функции.
При анализе особое внимание следует обращать на точки, где значения функций y1 и у2 обращаются в 0, ± 1, где они равны между собой или отличаются только знаком.
Пример 1. Построить график функции
.
Функция нечетная 
и поэтому анализ будем проводить лишь для х ≥ 0.Полагая у1 = х и у2 = х2 − 1, строим графики этих функций для х ≥ 0.
Замечаем:
- 1) при x = 0 имеем y1 = 0 и поэтому
= 0;
- 2) при х = а, где значения у1 и у2 отличаются только знаком, будет = - 1 (а - положительный корень уравнения − у1 = y2, или − х = x2 − 1, т.e.
);
- 3) при х = 1 имеем y2 = 0, а y1 = 1 и, следовательно, прямая x = l - вертикальная асимптота; если х → 1 слева, то yl → 1, а у2 → 0, оставаясь отрицательным, и поэтому → − ∞; если х → 1 справа, то, наоборот, у → + ∞;
- 4) при х = b, где у1 = у1, очевидно, = 1 ( b – положительный корень уравнения у1 = у2, или x = x2 − 1, т. е.
);
- 5) при х → + ∞ замечаем, что
, оставаясь положительным, т. е. ось абсцисс служит горизонтальной асимптотой.
График частного двух функций
иногда удобнее строить как график произведения двух функций.Действительно, если положить y1 = f1 (х) и
, то у = у1·у2.Пример 2. Построить график функции
.Представим функцию в виде
и построим графики вспомогательных функций y1 = 2/x и y2 = cos πx для х > 0, так как наша функция нечетная (произведение нечетной и четной функций). В тех точках, где y2 = cos πx = 0, будет также и y = 0. В тех точках, где y2 = cos πx = l (кроме х = 0), очевидно, у = у1, а где y2 = cos πx = - 1, значение y = - y1 = - 2/x. Строим для удобства график функции у3 = - 2/x.Построив ряд таких точек искомого графика, соединив их плавной кривой и учитывая поведение функции при х → 0 (при х → 0 справа y1 → + ∞, а у2 → 1 и, следовательно, y → + ∞, оставаясь меньше y1, т. е. ось Оy является асимптотой графика), получим искомый график для х > 0. Для х < 0 график получается симметричным отображением относительно начала координат.
Иногда проще сначала построить график функции
, а затем уж построить график заданной функции 
как график Функции y = 1/y1. Так, в примере 1 график функции 
легко строится как график суммы двух функций, а затем уже просто получается график заданной функции.