14_7

ВВЕРХ

Общие понятия

Пример 1

Пример 2

Пример 3

Если упрощение не достигается …

Пример 4

Пример 5

Пример 6

Оглавление

Предметный указатель

Литература

Для доступа к меню нажмите правую кнопку мыши

ГРАФИК "ФУНКЦИИ ОТ ФУНКЦИИ"

   Если в функцию y = f (u) вместо аргумента u мы подставим функцию u = φ(x) нового аргумента x, то в результате получим так называемую «функцию от функции», или «суперпозицию» двух функций y = f [φ(x)], или сложную функцию. Очевидно, что хотя бы одно значение функции u = φ (х) должно входить в область задания функции y = f (u), иначе о такой подстановке говорить бессмысленно.
   Исходную функцию y = f(u) называют внешней, а промежуточную функцию u = φ(х) - внутренней функцией.
   Например, взяв функцию y = log ₂ u и положив u = х² - 1, получим сложную функцию y = log ₂ (x² - 1). Термин "сложная" функция надо понимать относительно. Он указывает способ получения такой функции, а не степень сложности зависимости функции от аргумента.
   Например, взяв функцию y = u² и положив u = 1/x, получим сложную функцию у = 1/x², которая на самом деле выражает довольно простую зависимость у от х.
   По существу мы уже встречались с простейшими случаями сложных функций, например y = f (x + a), y = f (|x|) и т.д.
   В этом параграфе мы рассмотрим способ построения графиков сложных функций в общем случае.
   При построении графиков "функции от функции" надо в первую очередь попытаться заменить данную функциональную зависимость более простой, ей эквивалентной.
   Пример 1. Построить график функции

.
   Согласно основному логарифмическому тождеству данная функция равносильна функции у = х при условии х > 0 (log₂ х для отрицательных х не определен). Следовательно, искомым графиком является биссектриса I координатного угла. Стрелкой на рисунке указывается, что точка О - начало координат - исключается.
   Пример 2. Построить график функции у = arctg tg x.
   Эта функция периодическая с основным периодом Т = π, так как arctg tg (x + π) = arctg tg x.
   Уравнение у = arctg tg x равносильно уравнению tg y = tg x при условии, что -

< y <

. Поэтому для -

< x <

получаем у = х. Следовательно, искомым графиком на промежутке (-

) служит отрезок у = х с исключенными концевыми точками. Вне промежутка (-

) график получается периодическим продолжением.
Пример 3. Построить график функции

.
Эта функция нечетная

и поэтому достаточно построить график для х ≥ 0.
Из данного равенства имеем

. Это равенство напоминает формулу

. Поэтому находим

. Таким образом, получаем

или

Теперь легко строим искомый график для х ≥ 0 и затем симметрическим отображением относительно начала координат получаем график и для х < 0 (смотри рисунок).
   Если упрощение "функции от функции" y = f [φ(х)] не достигается, то можно строить график такой функции следующим образом.
    Построим на отдельных чертежах вспомогательные графики внешней и внутренней функций y = f (u) и u = φ (x).
   Очевидно, для всякой точки А(u₀, у₀) графика функции y = f (u) ( смотри рисунок) (но, конечно, такой, для которой значение u₀ принадлежит области изменения функции u = φ (х)) можно построить соответствующую точку В(х₀, u₀) графика функции u = φ (х) (отложив на оси Оu значение u₀, находим точку х₀ ( смотри рисунок) и затем соответствующую точку С (х₀, у₀) искомого графика ( смотри рисунок). Построив ряд таких точек и соединив их плавной кривой, получим изображение графика заданной функции, который всегда можно уточнить вычислением отдельных контрольных точек.
   Обычно строят лишь некоторые характерные точки искомого графика, а затем путем анализа специфических свойств внутренней и внешней функции получают весь график. В простых случаях можно легко обойтись без построения графика внешней функции y = f (u).
   Пример 4. Построить график функции y = log ₂ (x² - 1).
   Полагая u = х² − 1, получаем у = log ₂ u. Строим системы координат хОu, хОу, располагая их, как показано на рисунке, и график функции u = x² − 1 (рисунок а)).
Заметим, что:

1) из симметрии относительно оси ординат графика функции u = х ² − 1 следует симметрия относительно оси ординат графика функции y = log ₂( x ² − 1);
2) так как для − 1 ≤ x ≤ 1 значения u ≤ 0, то на этом промежутке заданная функция не определена;
3) так как, очевидно, для u = ¼, ½, 1, 2, 4 соответствующие значения у = log ₂ u будут равны − 2, − 1, 0, 1, 2, то беря эти значения u на рисунке а), и находя соответствующие значения х, переносим их на рисунок б, отмечая для них соответствующие значения у. Тем самым мы получим ряд точек искомого графика;
4) так как при u → 0 ( u > 0 ) значения y = log ₂ u → − ∞, то при х → 1, когда u → 0, оставаясь положительным, y = log ₂ (x ² − 1) → − ∞;
5) при х → + ∞, очевидно, u → + ∞ и, следовательно, у → + ∞.

   Учитывая эти замечания, получаем, что искомый график имеет вид кривой, изображенной на рисунке б).
   Пример 5. Построить график функции у = sin 2 log ₂ x.
   Полагая u = 2 log ₂ x, получаем у = sin u. Строим график функции u = 2 1og ₂ x (рисунок а). Характерными точками заданной функции являются точки, где значения у равны 0, ± 1, т. е. когда u = 0, ±

, ± π, ±

, ….
   На рисунке а), отмечаем эти значения u, находим соответствующие значения х и строим соответствующие значения у (рисунок б). Соединяя найденные точки плавной кривой, получаем искомый график. Очевидно, график будет описывать колебательный процесс, причем с увеличением х частота колебаний уменьшается, а при стремлении х к нулю - неограниченно возрастает. Часть графика вблизи оси Оу при увеличенном горизонтальном масштабе показана на рисунке.
   В отдельных случаях для построения графика сложной функции достаточно найти область ее определения (особенно при задании функциональной зависимости громоздкими формулами).
   Пример 6. Построить график функции

.
Функция определена лишь для х, при которых справедливо неравенство lg sin x ≥ 0 или sin π x ≥ 1, что возможно, когда sin π х = 1, т. е. х = 2k + ½ , где k = 0, ± 1, ± 2,.... Для этих значений х значение y = 0. Таким образом, график состоит из отдельных точек оси Ох.