Общие положения
Пример 1
Пример 2
Пример 3
Пример 4
Пример 5
Пример 6
Пример 7
Пример 8
Оглавление
Предметный указатель
Литература

ПРИМЕНЕНИЕ ГРАФИКОВ К РЕШЕНИЮ УРАВНЕНИЙ, СИСТЕМ И НЕРАВЕНСТВ

   Графики широко применяются для определения числа действи тельных решений уравнения
f (x) = 0                        (1)
или системы
                        (2)
и их приближенных значений.
   Действительно, если мы построим график функции y = f (x), то абсциссы точек, в которых график пересекает ось Ох, и будут действительными корнями уравнения (1) (рисунок).
   Когда построение графика функции y = f (x) вызывает затруднения, нужно постараться представить уравнение в виде f1(x) = f2(x) таким образом, чтобы было легко построить графики функций
y = f1(x) и y = f2(x).
Очевидно, что абсциссы точек пересечения графиков этих функций и будут действительными корнями уравнения.
   Если эти графики не имеют общих точек, то уравнение не имеет действительных корней.
   Чем точнее построены графики, тем меньшие можно указать интервалы, которые содержат корни.
   Все сказанное относится и к решениям системы (2) (координаты точек пересечения графиков уравнений F1 (х, у) = 0 и F2(x, y) = 0 будут действительными решениями системы (2)).
   Пример 1. Найти графически корни следующих уравнений:
1) х ³ + х − 1 = 0; 2) 2 − x ² = log 2 (− x).
   Решение. 1. Запишем уравнение в виде х ³ = 1 − х. Построив графики функций у = х ³ и у = 1 − х, видим, что уравнение имеет лишь один действительный корень х0.
   2. Строим графики функций у = 2 − х ² и y = log 2 (− х). Находим, что уравнение имеет один действительный корень х0.
   Пример 2. Указать число действительных корней уравнения 100 sin πx = x.
   Решение. Перепишем уравнение в виде и рассмотрим функции y = sin πx и y = x/100.
   Построим схематично графики этих функций. Графики обеих функций симметричны относительно начала координат, поэтому достаточно проанализировать решение уравнения для х ≥ 0. Очевидно, как только значение функции y = x/100 станет больше 1 (х > 100), то уже графики наших функций пересечься не смогут (sin πх ≤ 1).
   Функция у = sin πх имеет период Т = 2, а на отрезке длиной в период прямая пересекает синусоиду лишь в двух точках. Следовательно, на отрезке [0, 100] таких точек пересечения будет 2·100/2 = 100. Аналогично на отрезке [− 100, 0] также будет 100 точек пересечения, но так как начало координат мы просчитываем два раза, то, следовательно, искомое уравнение имеет 199 корней, один из которых 0, а остальные можно указать лишь приближенно.
   Пример 3. Определить число действительных решений системы
   Решение. Каждое из уравнений системы определяет параболу (у = 3 - х ² и х = 4 − у ²). Построив эти параболы, видим, что система имеет четыре действительных решения.
   Иногда отдельные действительные решения легко находятся подбором. Тогда встает вопрос: не имеет ли уравнение или система других действительных решений? Часто ответ на этот вопрос можно получить прибегнув к графикам.
   Пример 4. Решить уравнение
   Решение. Легко заметить, что уравнение имеет корень х = 2. Представив уравнение в виде
построим графики функций
График второй функции строим графическим сложением графиков показательных функций
с основаниями меньше 1. В силу монотонности этой функции он пересекается с прямой у = 1 лишь в одной точке. Следовательно, х = 2 - единственный корень.
   Пример 5. Решить систему
   Решение. Можно заметить, что система имеет решение (1, 1). Построив по известным правилам графики этих уравнений (для чего надо первое уравнение записать в виде ), убеждаемся, что найденное решение единственное.
   В заключение покажем, как применяются графики к решению неравенств и систем неравенств с двумя неизвестными.
   Решить неравенство
F (x, y) \/ 0                         (3)
- это значит найти все точки плоскости хОу, координаты которых удовлетворяют неравенству (3).
   Пример 6. Решить графически неравенство
х + 2у − 1 ≥ 0.
   Решение. Построим прямую х + 2у − 1 = 0. Очевидно, сами точки прямой удовлетворяют поставленной задаче. Эта прямая делит плоскость на две части. Взяв произвольную точку М(х0, у0) этой прямой и передвинув ее параллельно оси Оу вверх в положение N1(x0, y1), получим в силу равенства х0 + 2 у0 − 1 = 0 и неравенства у1 > у0, что будет справедливо неравенство х0 + 2 у1 − 1 > 0.
   Аналогично, если взять точку N2 (x0, у2), где у2 < у0, то получим, что координаты этой точки будут удовлетворять неравенству x0 + 2 y2 − 1 < 0. Следовательно, данному неравенству удовлетворяют все точки прямой и расположенные над ней.
   Пример 7. Решить графически неравенство y > log 2 (l − х).
   Решение. Строим график функции y = log 2(l − х). График нарисован пунктирной линией для того чтобы подчеркнуть тот факт, что сами точки этого графика не удовлетворяют неравенству.
   Очевидно, координаты точек решения неравенства должны удовлетворять условию 1 − х > 0, т. е. х < 1, так как иначе log 2(l − х) не определен.
   Взяв произвольную точку М этого графика и рассуждая аналогично предыдущему, получим, что решением неравенства будут все точки, расположенные выше логарифмической кривой и левее прямой х = 1 (эта область закрашена).
   Под решением системы неравенств
понимают все точки плоскости, координаты которых одновременно удовлетворяют всем неравенствам, входящим в систему.
   Пример 8. Решить графически систему неравенств
   Решение. Сначала решаем отдельно неравенство y ≤ 1 − х2 и неравенство y ≥ x − 1. Теперь, объединяя эти результаты, получаем, что искомой системе удовлетворяют все точки заштрихованной области. Координаты точек А и В находятся путем решения системы уравнений