Пример 1
Пример 2
Пример 3
Пример 4
Пример 5
Оглавление
Предметный указатель
Литература

РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ

   Рассмотрим некоторые задачи, связанные с функциями.
   Пример 1. Найти область определения функций:    Решение 1. Данная функция будет определена лишь для х, удовлетворяющих неравенству . Решив это неравенство, получим − 1 ≤ х < 1.
   2. Функция определена, лишь когда cos log 2 x > 0. Очевидно, это неравенство справедливо, если
2kπ - < log 2 x < 2kπ + (k = 0, ± 1, ± 2, ...).
Отсюда получаем, что область существования искомой функции состоит из бесконечного числа отдельных промежутков
.
   3. Функция будет определена лишь в том случае, когда оба слагаемых одновременно определены. Следовательно, х должен удовлетворять системе неравенств
.
Решив эту систему, найдем, что область определения состоит из двух промежутков: (− 2, 1] и [ 3, 5).
   Пример 2. Определить, является ли функция четной или нечетной:    Решение. 1. Имеем
Следовательно, эта функция нечетная.
    2. Имеем
.
На первый взгляд кажется, что f ( − x) ≠ f (x) и f ( − х) ≠ − f (x), т. е. что функция не является ни четной, ни нечетной. Но на самом деле не так. Действительно, получившееся выражение можно тождественно преобразовать следующим образом:
Следовательно, функция нечетная.
   3. Имеем
f (? х) = cos (− x + 2) + cos (− x − 2) = = cos [− (x − 2)] + cos[− (x + 2)] = = cos (x − 2) + cos (x + 2) = f (x).
Следовательно, функция четная.
   Пример 3. Указать геометрическое место точек на плоскости, координаты которых удовлетворяют следующим уравнениям: 1) х2 − х − 2 = 0; 2) х2 − ху − 2 y2 + Зy − 1=0; 3) | у | = y cos πх; 4) sin2 πx + sin2 πy = 0; 5) у + |у| = х + |х|.
   Решение. 1. Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений х = 2 и х = − 1 и, следовательно, искомым геометрическим местом служат две прямые, параллельные оси Оу.
   2. Решая это уравнение как квадратное относительно х, найдем, что оно равносильно совокупности двух уравнений х + у − 1 = 0 и х − 2 y + 1 = 0. Следовательно, искомое геометрическое место состоит из двух прямых.
   3. Имеем:       Следовательно, искомым геометрическим местом является ось Ох (у = 0) и семейства прямых: x = 2k при условии, что y > 0, и х = 2n + 1 при условии, что у < 0.
   4. Сумма квадратов двух действительных чисел может равняться нулю лишь тогда, когда эти числа одновременно равны нулю. Следовательно, искомым геометрическим местом служат все точки, для которых одновременно sin πх = 0 и sin πy = 0, т.е. точки с координатами x = k и у = n, где k и n - любые целые числа.
   5. Для х и у из I квадранта (х ≥ 0, y ≥ 0) уравнение равносильно уравнению у + у = х + х, или y = х. Это - биссектриса I координатного угла.
   Если x ≤ 0, y ≥ 0 (II квадрант), то получаем у + у = х ? х, т. е. y = 0.
   Если х ≤ 0 и y ≤ 0 (III квадрант), то имеем тождество.
   Наконец, если х ≥ 0, y ≤ 0 (IV квадрант), то уравнение принимает вид у - у = х + х, или х = 0.
   Следовательно, искомое геометрическое место состоит из биссектрисы I координатного угла и всех точек плоскости III квадранта, включая его границы.
   Пример 4. Найти а, b, с, если функция y = а х ² + b х + с принимает наибольшее значение y = 2 при х = 1, а при х = ? 1 значение функции y = ? 2.
   Решение. Графиком искомой функции служит парабола, вершина которой находится в точке В (1, 2) и, следовательно, функцию можно представить в виде
y = а (х − 1) ² + 2.
Подставив в это уравнение х = − 1 и y = − 2, найдем, что а = − 1. Таким образом, y = − (х − 1) ² + 2, или y = − х ² + 2 х + 1 и, значит, а = − 1, b = 2, с = 1.
   Пример 5. Какую линию описывает вершина параболы y = х ² + 2 t х + 2 t ², когда параметр t принимает любые действительные значения?
   Решение. Выделяя полный квадрат, получаем
y = (x + t) ² + t ².
Следовательно, координаты вершины параболы находятся в зависимости от t из условий x = ? t, y = t ². Исключая из этих равенств параметр t, получаем, что эти координаты удовлетворяют уравнению y = х ², графиком которого также служит парабола. На рисунке эта парабола изображена красной линией, а синей изображено несколько положений параболы y = х ² + 2 t х + 2 t ² при различных значениях t.