15_2

ВВЕРХ

Теорема синусов

Теорема косинусов

Теорема тангенсов

Оглавление

Предметный указатель

Литература

Для доступа к меню нажмите правую кнопку мыши

СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ЭЛЕМЕНТАМИ ЛЮБОГО ТРЕУГОЛЬНИКА

Теорема синусов. В любом треугольнике отношение стороны к синусу противолежащего угла есть величина постоянная, равная диаметру описанной окружности, т. е.

. (1) Доказательство. 1. Рассмотрим сначала случай, когда угол A - острый. Опишем вокруг треугольника ABC окружность и из вершины В (или С) проведем диаметр BD. Соединим токи D и С и рассмотрим треугольник BCD. В этом треугольнике Ð BCD = 90° как угол, опирающийся на диаметр, а Ð ВDС = A, так как эти вписанные в окружность углы опираются на одну и ту же дугу.
Из поямоугольного треугольника BCD следует, что неизвестный катет ВС равен гипотенузе BD, умноженной на синус противолежащего угла BDC, т. е. ВС = BD·sin Ð BDC, или

, что и требовалось доказать.
Аналогично доказываются остальные две формулы для В < 90° и С < 90°.
2. Пусть теперь угол A - тупой. Описав вокруг треугольника ABC окружность, проведем из вершины В (или С) диаметр BD и рассмотрим прямоугольный треугольник BCD, где Ð BCD = 90°. Из этого треугольника имеем ВС = BD·sin Ð BDC. Но Ð BAC + Ð BDC = 180°, следовательно, sin Ð BDC = sin (180° − Ð ВАС) = sin Ð ВАС = sin A, а поэтому ВС = BD·sin A, или

.    3. Если угол A - прямой, то в прямоугольном треугольнике ABC сторона а является гипотенузой и, следовательно, a = 2R sin 90°, т. е. теорема остается верной и в этом случае.
   Замечание. Теорема синусов устанавливает связь между радиусом описанной окружности и основными элементами треугольника: a = 2R·sin A, b = 2R·sin B, c = 2R·sin C.    Теорема косинусов. Квадрат стороны любого треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без их удвоенного произведения на косинус угла, заключенного между ними, т. е. a² = b² + c² − 2bc·cos A.                        (2)    Доказательство. 1. Пусть угол А - острый. В треугольнике ABC проведем высоту BD и рассмотрим полученный при этом прямоугольный треугольник BDC. В этом треугольнике ВС ² = DC ² + BD ², или a ² = (b − b₁) ² + h ²                         (3)    Выразим теперь величины b₁ и h через основные элементы треугольника ABC. Рассмотрим треугольник ABD. Имеем h = c − sin A,                        (*)
b₁ = c − cos A.                        (**) Заменив h и b₁ в выражении (3) их значениями (*) и (**), найдем, что а ² = (b - с·cos A) ² + с ²sin ² A, откуда после очевидных упрощений получим а ² = b ² − 2 bc²cos A + c ² (cos ²A + sin ²A) = b ² + c ² − 2 bc·cos A, что и требовалось доказать.   ( Другое доказательство теоремы косинусов )
   2. Пусть угол A - тупой. Из вершины В опустим высоту BD на продолжение стороны АС.
   Из прямоугольного треугольника BDC имеем BC² = BD² + DC², или a² = h² + (b + b₁)².                        (4) Величины h и b₁ выразим через основные элементы треугольника ABC. Рассматривая треугольник ABD, имеем h = c·sin (180° - A) = с·sin A                        (***),
b₁ = c·cos(180° − A) = − c·cos A.                        (****)    Заменив h и b₁ в выражении (4) их значениями (***) после необходимых преобразований получим а² = с² sin² A + (b − с cos A)² = с² + b² − 2 bc·cos A, что и требовалось доказать.
   3. Пусть угол A - прямой. В этом случае соs A = 0 и, следовательно, b² + c² − 2 bc·cos A = b² + c².                         (5) Но по теореме Пифагора b² + c² = a².                        (6) Сравнивая соотношения (5) и (6), получим a² = b² + c² - 2 bc·cos A, что и требовалось доказать.
   Читателю, знакомому с элементами векторной алгебры, предлагаем другой вывод теоремы косинусов.
    Рассмотрим векторы АС, АВ и СВ. Очевидно, что СВ = AВ - AC и (СВ)² = СВ·СВ = (AВ − AC)² .                        (7) Здесь СВ·СВ - скалярное произведение вектора СВ на себя. Согласно свойствам скалярного произведения. СВ² = AВ² − 2 AВ·AC + AC².                        (8) Учитывая, что СВ² = а², AВ² = с², AC² = b² и AВ·AC = c·b·cos А, перепишем равенство (8): а² = с² − 2 bc·cos A + b², что и требовалось доказать.
   Записав формулу (2) в виде

, (9) замечаем, что:

1) если a² = b² + c², то cos A = 0 и A = 90°. Следовательно, если квадрат сторон треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то этот треугольник-прямоугольный;
2) если a² < b² + c², то cos A > 0 и A < 90°, т. е. в этом случае треугольник – остроугольный;
3) если a² > b² + c², то cos A < 0 и A > 90°, т. е. в этом случае треугольник - тупоугольный.

Весьма полезной при решении задач является следующая формула, выражающая тангенс угла через стороны треугольника. Последняя в отличие от формулы косинусов приведена к виду, удобному для логарифмирования.
Теорема тангенсов. В любом треугольнике

, (10) где

– его полупериметр.
Доказательство. Из теоремы косинусов вытекает, что

, (*)

. (**) Из равенств (*) и (**) вытекает, что

, что и требовалось доказать.
Следствие. Радиус вписанной в треугольник окружности может быть вычислен по формуле

, (11) Доказательство. Соединим центр вписанной окружности с вершинами треугольника ABC, в котором OD = OE = OF = r. Из треугольника A0D следует, что

. Для нахождения AD заметим, что AD = AE, BE = BF и FC = CD как отрезки касательных, приведенных к окружности из одной точки. Поэтому 2p = a + b + c = 2 AD + 2 CF + 2 BF = 2 AD + 2 (BF + FC) = 2 AD + 2a. Отсюда следует, что AD = p - а. Используя формулу (10), имеем

. что и требовалось доказать.
Ниже будет дано выражение радиуса описанной окружности через стороны треугольника.