ОСНОВНЫЕ СЛУЧАИ РЕШЕНИЯ КОСОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

• I случай. Даны стороны а, b и с. Найти углы А, В, С.
     Решение. Задача имеет единственное решение при условии, что a + b > c, где b ≤ а ≤ с. Используя теорему тангенсов (10), находим       Формула для проверки: А + B + С = 180°.
     Заметим, что угол A можно найти и по теореме косинусов.
• II случай. Даны две стороны а и b и угол С, заключенный между ними. Найти сторону с и углы A и В.
     Решение. 1. Используя теорему косинусов, находим сторону с: .       2. Используя теорему синусов, находим угол В. Пусть а ≥ b. Тогда угол В острый и , A = 180° − (B + C). Формула'для проверки: .    Замечание. Угол A может быть острым или тупым, если С < 90°. Поэтому, если искать сначала угол A (по формуле ), то без дополнительных исследований мы не сможем однозначно определить значение угла A по известному значению его синуса.
• III случай. Даны две стороны а и b и угол A, лежащий против одной из известных сторон. Найти сторону с и углы B и С.
     Решение. 1. Используя теорему синусов, находим угол В, а затем С: , С = 180° − (B + A).       2. Вторично используя теорему синусов, находим сторону с: .       Формула для проверки: .       Исследование решения:
  • 1) если а > b, то a > b·sin A и Задача имеет решение. Это решение единственно, так как угол В острый (а > b);
  • 2) если а < b, то задача имеет решение при условии, что b·sin A ≤ a. При этом имеют место две возможности: а) если a = b·sin A, то sin B = l и В = 90° – задача имеет единственное решение; б) если b·sin A < а, то задача имеет два решения, так как для угла В нужно брать два значения (по известному значению его синуса). Если же b·sin A > а, то sin B > 1 и задача не имеет решения.
  • 3) если а = b, то А < 90°, b·sin A < a и задача имеет единственное решение.
• IV случай. Даны сторона а и прилежащие к ней углы В и С. Найти стороны b, с и угол А.
     Решение. 1. Находим А = 180° − (В + С).
     2. Дважды применяя теорему синусов, находим b и с:       Формула для проверки: .       Предложенные способы решения каждого из этих случаев не являются единственными. Так, например, в I случае можно сначала найти r, а затем искать углы по формулам: непосредственно вытекающим из формул (10) и (11). Можно также искать cos А по теореме косинусов, а затем sin В по теореме синусов и т. д.