Три условия для измерения площади
Определение площади плоской фигуры
Оглавление
Предметный указатель
Литература

ПОНЯТИЕ ОБ ИЗМЕРЕНИИ ПЛОЩАДЕЙ ПЛОСКИХ ФИГУР

ФИЛЬМ
   Всякое измерение представляет собой сравнение измеряемой величины с некоторой величиной той же размерности.
   В частности, при измерении площадей измеряемую фигуру сравнивают с единичным квадратом, площадь которого принимают за единицу площади в соответствующей размерности (один квадратный сантиметр, один квадратный метр и т. д., или 1 см2, 1 м2 и т. д.). При этом измерение должно удовлетворять трем условиям:
  1. Равные фигуры имеют равные площади.
  2. Если фигура F содержится в фигуре G, то
    пл. F ≤ пл. G.
  3. Если фигура F составлена из двух примыкающих друг к другу фигур Р и G без общих внутренних точек, то
    пл. F = nn. Р + пл. G.
   Поэтому, если фигура F состоит из конечного числа n примыкающих друг к другу единичных квадратов, то пл.F = n ед2. Если каждую из двух смежных сторон единичного квадрата разделить на n (n – целое) равных частей и через точки деления провести прямые, перпендикулярные этим сторонам, то единичный квадрат разделится на n2 малых квадратов со стороной 1/n. Согласно свойствам 1 и 3 отсюда следует, что площадь квадрата со стороной 1/n равна 1/n ² ед2. Подобным рассуждением получаем, что площадь квадрата со стороной p/q (р и q – целые) равна (р и q) ² ед2.
   Пусть F - плоская фигура. Наложим на нее квадратную сетку, состоящую из смежных квадратов со стороной (сетка ранга n). Фигуру, образованную из всех квадратов сетки ранга n, содержащихся в F, обозначим через F'n, а сумму площадей всех составляющих ее квадратов – через S'n. В силу свойства 3 S'n – площадь фигуры F'n. Фигура F'n называется входящей фигурой ранга n.
   Фигуру, образованную из всех квадратов сетки, имеющих c F хотя бы одну точку, обозначим через F''n, ее площадь – через S''n. Фигура F''n называется выходящей фигурой ранга n.
   Очевидно, фигура F'n содержится в F, a F содержится в F''n, причем F''n и F'n совпадают в том и только в том случае, если любая из них совпадает с F. В этом случае полагаем, что
пл. F = S 'n = S ''n.
   Если не существует целого n, при котором F'n совпадает с F, то, полагая n = 1, 2, 3,..., получим бесконечную систему входящих и выходящих фигур
F '1, F '2, F '3, …, F 'n, … и F ''1, F ''2, F ''3,… F ''n,…
площади которых образуют две числовые последовательности
S '1, S '2, S '3, …, S 'n, … и S ''1, S ''2, S ''3,… S ''n,…
Легко заметить, что каждая входящая фигура ранга k содержит в себе все входящие фигуры меньшего ранга, поэтому
S 'k-1 ≤ S 'k.
Любая входящая фигура содержится в F ''1, т. е. все S 'k ≤ S ''1.
   Таким образом, последовательность S '1, S '2, S '3, …, S 'n, … монотонно возрастает и ограничена, а потому имеет конечный предел .
   Выходящая фигура ранга k содержится во всех выходящих фигурах меньшего ранга. Поэтому S ''n-1 ≥ S ''n и S ''n ≥ S '1 для любого k. Значит, последовательность S ''1, S ''2, ..., S ''n, ... , как монотонно убывающая и ограниченная, имеет конечный предел, .
   Если оба предела совпадают, т. е. , то число S, выраженное в соответствующих квадратных единицах, и принимают за площадь фигуры F.
   Определенная таким образом площадь удовлетворяет всем условиям 1, 2, 3, сформулированным в начале параграфа.
   Очевидно, что при измерении площади фигуры F ее можно сравнивать не только с квадратом, или с фигурами, составленными из квадратов, но также и с любыми фигурами, площади которых нам известны. После того, как нам стала известна площадь многоугольников, последние можно брать в качестве входящих и выходящих фигур. Например, при вычислении площади круга мы в качестве входящих фигур берем правильные вписанные многоугольники, а в качестве выходящих – правильные описанные многоугольники. Площадь круга и определяется как общий предел их площадей при неограниченном удвоении числа сторон этих многоугольников.