ВВЕРХ
Для доступа к меню нажмите правую кнопку мыши
ПЛОЩАДЬ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА И МНОГОУГОЛЬНИКА
Т е о р е м а 1. Площадь любого четырехугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла, заключенного между ними, т. е.
S = пл. ABCD = ½ AC·BD·sin α. (18)
Доказательство. Четырехугольник ABCD диагоналями AC и BD разбивается на четыре треугольника АОВ, ВОС, COD и AOD, причем
пл. АОВ = ½ АО·OB·sin α, пл. ВОС = ½ BO·CO·sin (180° − α) = ½ BO·CO·sin α,
пл. COD = ½ CO·DO·sin α и пл. AOD = ½ АО·DO·sin (180° − α) = ½ АО·DO·sin α.
Следовательно,
пл. ABCD = ½ sin α [(АО + СО) ВО + DO (АО + СО)] = ½ sin α (АО + СО)·(ВО + DO).
Замечая, что АО + СО = АС и BO + DO = BC, получаем
пл. ABCD = ½ AC·BD·sin α.
Следствие. Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.
Доказательство вытекает из формулы (18), если учесть, что угол α = 90°, т. е. sin α = l.
Теорема 2. Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту.
Доказательство. Диагональ BD делит данный параллелограмм с основанием а и высотой h на два равных треугольника ABD и DBC. Следовательно,
.
Следствие. Площадь параллелограмма равна произведению двух его смежных сторон на синус угла, заключенного между ними. Доказательство следствия вытекает из равенства
пл. ABCD = 2 пл. ABD,
где
пл. ABD = ½ AD·AB·sin A.
Тогда
пл. ABCD = AD·AB·sin А.
Теорема 3. Площадь трапеции равна произведению ее средней линии на высоту, т. е.
.(19)
Доказательство. Проведем из вершины С отрезок СЕ, параллельный стороне AD. Он разобьет трапецию на параллелограмм AECD и треугольник ЕСВ с высотами, равными h. Следовательно,
.
Но АЕ = МК, BE = 2 KN, где MN – средняя линия трапеции, а KN – средняя линия треугольника. Поэтому
.
Для определения площади произвольного многоугольника, например ABCDEF, его разбивают на треугольники диагоналями, проведенными из одной вершины. Подсчитывая площади каждого из получившихся треугольников и суммируя их, получаем площадь многоугольника
пл. ABCDEF = пл. АВС + пл. ACD + пл. ADE + пл. AEF.
Если многоугольник правильный, то его целесообразно делить на треугольники другим способом, как это видно из доказательства следующей теоремы.
Теорема 4. Площадь правильного n - угольника равна его полупериметру pn, умноженному на радиус вписанной окружности:
S = пл. ABCDEF = p·r. (20)
Доказательство. Соединив центр О многоугольника со всеми его вершинами, получим n равных треугольников АОВ, ВОС, ..., где n - число сторон данного многоугольника. Высоты этих треугольников равны радиусу вписанной окружности, поэтому
,
где 
- полупериметр.
Следствие. Площадь правильного многоугольника равна половине произведения числа сторон многоугольника на квадрат радиуса описанной окружности и на 
:
. (21)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Угол АОВ равен 
. Поэтому
и
.