ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ
ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Основными понятиями в геометрии пространства (стереометрии) являются точка, прямая линия и плоскость. Как и прямая, плоскость определяется аксиоматически.ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Определение. Множество точек Р в пространстве называется плоскостью, если оно удовлетворяет следующим трем условиям (аксиомам плоскости).
- Через любые три точки пространства, не лежащие на одной прямой, можно провести одну и только одну плоскость.
- Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и все точки прямой принадлежат этой плоскости.
- Если две различные плоскости имеют общую точку A, то они имеют и общую прямую, проходящую через A.
Из этих аксиом вытекают такие следствия.
- Следствие 1. Через прямую р и точку С вне ее можно провести плоскость и притом только одну.
Действительно, взяв на прямой р две точки А и В, мы получим три точки A, В и С, которые определяют единственную плоскость. Прямая р, имея с этой плоскостью две общие точки, целиком принадлежит плоскости. - Следствие 2. Через две пересекающиеся прямые р и q можно провести плоскость и притом только одну.
Действительно, взяв точку пересечения С, точку A на прямой р и точку В на прямой q, мы получим три точки А, В и С, которые определяют единственную плоскость. Каждая из прямых, имея с плоскостью по две общие точки, лежит в этой плоскости. - Следствие 3. Через две параллельные прямые можно провести плоскость и притом только одну.
В самом деле, так как две прямые параллельны, то они лежат в одной плоскости. Эта плоскость единственная, ибо две точки A и В на одной из прямых и точка С на второй прямой однозначно определяют как пару параллельных прямых, так и плоскость.
Определение. Две прямые, не лежащие в одной плоскости, и, следовательно, не имеющие общих точек, называются скрещивающимися.
Скрещивающиеся прямые не образуют угла в обычном смысле, так как у них нет общей точки - вершины угла. Условились углом между скрещивающимися прямыми называть угол, образованный двумя параллельными им полупрямыми, выходящими из одной точки.
Прямые называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°.
Две различные плоскости в пространстве либо не имеют ни одной общей точки (параллельные плоскости), либо имеют общую прямую (аксиома 3).
Прямая относительно плоскости может занимать три различных положения:
- а) прямая лежит в плоскости (или плоскость проходит через прямую);
- б) прямая и плоскость не имеют общих точек. В этом случае прямая называется параллельной плоскости;
- в) прямая и плоскость имеют только одну общую точку. В этом случае говорят, что прямая пересекает плоскость.
Прямая, пересекающая плоскость, но не перпендикулярная к ней, называется наклонной к этой плоскости.
Прямая, соединяющая основания наклонной и перпендикуляра, опущенного из любой точки наклонной на плоскость, называется проекцией наклонной на плоскость.
Углом между прямой и плоскостью называется острый угол между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость.
Легко доказать, что угол между наклонной и ее проекцией на плоскость меньше угла, составленного этой наклонной и любой другой прямой, проведенной в данной плоскости.
Определение. Геометрическая фигура, состоящая из двух полуплоскостей, исходящих из одной прямой, называется двугранным углом.
Полуплоскости Р и Q, образующие двугранный угол, называются его гранями, а их общая прямая АВ - ребром двугранного угла.
Двугранный угол измеряется своим линейным углом, т. е. углом, образованным двумя перпендикулярами, восставленными к ребру из произвольной его точки С и лежащими на его гранях. Легко показать, что величина линейного угла нe зависит от выбора точки С на ребре двугранного угла.
Двугранные углы называются равными, если их можно полностью совместить. Равным двугранным углам соответствуют равные линейные углы и обратно.
Двугранный угол называется прямым, если его линейный угол равен 90°.
Определение. Две плоскости, образующие прямой двугранный угол, называются взаимно перпендикулярными.
Три плоскости, пересекающиеся в одной точке, образуют трехгранный угол. Точка пересечения этих плоскостей называется вершиной, части плоскостей, ограничивающие угол, - гранями, а прямые их пересечения - ребрами трехгранного угла.
Аналогично вводится многогранный угол при любом n.
Многогранный угол называется выпуклым, если все его грани лежат по одну сторону от плоскости любой его грани.