ПРИЗНАКИ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ И ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ
Перпендикулярность прямых и плоскостей.Теорема 1 (признак перпендикулярности прямой и плоскости). Если прямая р перпендикулярна к двум пересекающимся прямым m и n, лежащим в некоторой плоскости Р, то она перпендикулярна этой плоскости(р ⊥ P).
Доказательство. Пусть прямая р пересекает плоскость Р в точке А. Возьмем на плоскости Р произвольную прямую q и проведем из точки А прямые q1 || q, m1 || m и n1 || n. На прямой р по обе стороны от точки А отложим равные отрезки АВ и АС, на прямых m1 и n1 - отрезки AD = AE так, чтобы прямая DE пересекала прямую q1. Точку пересечения прямой q1 с DE обозначим через М. Проведем отрезки BE, BD, BM, CD, CE, CM и рассмотрим ряд образовавшихся при этом треугольников.
- 1) Равнобедренные треугольники DBE и DCE равны. Таким образом, ∠ BDE = ∠ BED = ∠ CDE = ∠ CED;
- 2) Отсюда следует, что Δ ВМЕ = Δ СМЕ (BE = СЕ, ME - общая, ∠ BEM = ∠ CEM). Поэтому ВМ = МС.
- 3) Следовательно, треугольник ВМС - равнобедренный и его медиана AM является одновременно и высотой, т. е. AM ⊥ BC, что и требовалось доказать.
На прямой q1 возьмем произвольную точку М и из нее проведем MB || m1 и МС || n1. Четырехугольник АВМС - параллелограмм, следовательно, АМ = АВ + АС. На прямой р возьмем вектор АЕ. По условию АЕ ⊥ АВ и АЕ ⊥ AC. Поэтому скалярные произведения АЕ · AВ = 0 и АЕ · АС = 0. В силу свойств скалярного произведения
Теорема 2 (теорема о трех перпендикулярах). Прямая а, проведенная на плоскости Р перпендикулярно наклонной АС, перпендикулярна к проекции ВС этой наклонной и обратно, прямая а, проведенная на плоскости перпендикулярно к проекции наклонной, перпендикулярна самой наклонной.
Доказательство. Проведем через наклонную АС и ее проекцию ВС плоскость, которую мы обозначим через Q. Прямая а, будучи перпендикулярной к двум пересекающимся прямым АС и АВ плоскости Q, перпендикулярна к самой плоскости Q, в частности, a ⊥ BC.
Аналогично доказывается обратное утверждение теоремы: если а ⊥ ВС, то a ⊥ Q, в частности, a ⊥ AC.
Параллельность прямых и плоскостей.
Теорема 1 (признак параллельности прямой и плоскости). Если прямая а параллельна прямой q, лежащей в плоскости Р, то она параллельна и самой этой плоскости (а || Р).
Доказательство. Две параллельные прямые а и q лежат в одной плоскости. Обозначим ее через Q. Плоскости Р и Q пересекаются по прямой q. Если бы прямая а пересекала плоскость Р, то точка их пересечения лежала бы на прямой q, что невозможно, так как а || q. Следовательно, прямая а не пересекает плоскость Р, т. е. а || Р.
Теорема 2. Если плоскость Р проходит через прямую p, параллельную другой плоскости Q, и пересекает плоскость Q, то линия пересечения q этих плоскостей параллельна прямой p.
Доказательство. Прямые p и q лежат в одной плоскости Р. Допустив, что эти линии пересекаются, мы получим точку М их пересечения, принадлежащую как плоскости Р, так и плоскости Q. Но это невозможно, так как P || Q.
Следствие. Если прямая p параллельна каждой из двух пересекающихся плоскостей Р и Q, то она параллельна их линии пересечения q.
Доказательство. Проведем плоскость через прямую а и произвольную точку А, лежащую на прямой q. Эта плоскость пересечет плоскости Р и Q по прямым q1 и q2 соответственно; каждая из них параллельна а и проходит через точку А. Так как через точку А проходит лишь одна прямая, параллельная а, то q1 и q2 сливаются в одну прямую; эта прямая принадлежит и плоскости Р, и плоскости Q. Следовательно, она совпадает с линией их пересечения q. Итак, a || q.
Теорема 3 (признак параллельности двух плоскостей). Две плоскости Р и Q, перпендикулярные к одной и той же прямой а, параллельны.
Доказательство. Допустим, что плоскости Р и Q не параллельны, т.е. что они пересекаются в некоторой точке М. Проведем через эту точку и прямую а плоскость R, которая пересечет плоскость Р по прямой МА и плоскость Q - по прямой MB. Прямая а, будучи перпендикулярной к Р и Q, будет перпендикулярна к прямым МА и MB. Следовательно, из точки М на прямую а опущены два перпендикуляра МА и MB, что невозможно. Итак, наше предположение, что плоскости Р и Q непараллельны, неверно.
Теорема 4 (признак параллельности двух плоскостей). Если две пересекающиеся прямые АВ и АС, лежащие в плоскости Р, соответственно параллельны двум пересекающимся прямым А1В1 и А1С1, лежащим в другой плоскости Q, то плоскости Р и Q параллельны.
Доказательство. Так как АВ || А1В1 и АС || А1С1, то АВ и АС параллельны плоскости Q. Допустим, что Р
Q, т. е. что они пересекаются по некоторой прямой MN. Тогда AB || MN и AC || MN, т. е. через точку А на плоскости Р проходят две различные прямые, параллельные прямой MN, что неверно. Следовательно, P || Q.Теорема 5. Если две параллельные плоскости Р и Q пересечь третьей плоскостью R, то получающиеся при этом линии пересечения а и q параллельны.
Доказательство. Прямые а и q лежат в одной плоскости R. Допустим, что а
q. Тогда они пересекаются в некоторой точке, которая должна принадлежать как Р, так и Q. Но это невозможно, так как Р || Q. Итак, a || q.Теорема 6. Отрезки параллельных прямых АВ и CD, заключенные между параллельными плоскостями Р и Q, равны.
Доказательство. Через параллельные прямые АВ и CD проведем плоскость R, которая пересечется с Р и Q по параллельным прямым АС и BD. Следовательно, ABCD - параллелограмм, и потому AB = CD.
Теорема 7. Два угла ( ∠ ВАС и ∠ B1A1C1) с соответственно параллельными и одинаково направленными сторонами равны.
Доказательство. Проведем через пересекающиеся прямые АВ и АС плоскость Р, а через А1В1 и А1С1 - плоскость Q. Плоскости Р и Q параллельны. Отложим на сторонах угла произвольные, но равные между собой отрезки AD = AE = A1D1 = A1E1 и проведем прямые АА1, DDl, ЕЕ1. Так как AD || A1D1 и AD = A1D1, то ADD1A1 - параллелограмм, и поэтому отрезок АА1 равен и параллелен DD1. Аналогично получаем, что отрезок АА1 равен и параллелен ЕЕ1. Поэтому DD1E1E - параллелограмм и ED = E1D1. Значит, Δ ADE = Δ A1D1EX и ∠ ВАС = ∠ В1А1C1.
Связь между параллельностью и перпендикулярностью прямых и плоскостей
Доказательство. Проведем в плоскости Р через основание а две прямые АВ и АС, а через основание q - параллельные им прямые А1В1 и А1С1: АВ || А1В1 и АС || А1С1. По условию а ⊥ АВ и а ⊥ АС. Так как ∠ MAC = ∠ М1А1С1, а ∠ МАВ = ∠ М1А1В1 как углы с параллельными и одинаково направленными сторонами, то ∠ М1А1С1 = ∠ М1А1В1 = 90° т. е. q ⊥ P.
Теорема 2 (обратная). Две прямые, перпендикулярные к одной и той же плоскости Р, параллельны.Теорема легко доказывается методом от противного.
Теорема 3. Если прямая а перпендикулярна к одной из двух параллельных плоскостей (Р), то она перпендикулярна и к другой плоскости (Р1).
Доказательство. Проведем через прямую а две произвольные плоскости Q и R, которые пересекут плоскость Р по прямым АВ и ВС, а плоскость Р1 - по прямым А1В1 и В1С1. При этом АВ || А1В1, ВС || В1С1. Так как a ⊥ АВ и a ⊥ BC, то прямая а также перпендикулярна к А1В1 и В1С1, т. е. а ⊥ Р1.
Перпендикулярность плоскостей
Теорема 1. Если плоскость Р проходит через прямую р, перпендикулярную к плоскости Q, то плоскости Р и Q взаимно перпендикулярны.
Доказательство. Пусть А - основание перпендикуляра р на плоскости Q. Плоскости Р и Q, имея общую точку А, пересекаются по некоторой прямой ВС. Проведем в плоскости Р прямую АЕ ⊥ ВС. Очевидно, угол DAE является линейным углом двугранного угла PBCQ и равен 90°. Следовательно, P ⊥ Q.Теорема 2. Любая прямая AD, лежащая в одной из двух взаимно перпендикулярных плоскостей и перпендикулярная их линии пересечения, перпендикулярна и второй плоскости.
Доказательство. Проведем через основание перпендикуляра AD прямую АЕ ⊥ AD. Угол DAE является линейным углом прямого двугранного угла PBCQ и, следовательно, равен 90°. Отсюда вытекает, что прямая р, будучи перпендикулярна к прямым ВС и АЕ плоскости Q, перпендикулярна Q.