Теорема 1
Теорема 2
Оглавление
Предметный указатель
Литература

СВОЙСТВА МНОГОГРАННЫХ УГЛОВ

   Теорема 1. В трехгранном угле любой плоский угол меньше суммы двух других его плоских углов и больше их разности.

   Доказательство. Пусть ASC - наибольший из плоских углов. На грани ASC построим угол CSD, равный углу CSB, и от вершины S отложим на ребрах SC, SB и CD отрезки SN = SM = SK. Через полученные точки N, М и К проведем плоскость, которая пересечет ребро SA в точке L. Из равенства треугольников SKN и SNM следует, что KN = MN. Так как в треугольнике LMN сторона LN < LM + MN, т. е. LK + KN < LM + MN, то LK < LM. Теперь, сравнивая треугольники SLK и LSM, замечаем, что угол LSK, лежащий против меньшей стороны LK, меньше угла LSM. Учитывая, что Ð LSN = Ð LSK + Ð KSN и Ð KSN= Ð NSM, получаем, что
Ð LSN < Ð LSM + Ð NSM.
Вторая часть теоремы вытекает из полученного неравенства.

   Теорема 2. Сумма плоских углов выпуклого многогранного угла меньше 4d.

   Доказательство. Проведем плоскость Р, пересекающую все его грани. В сечении получим многоугольник ABCD... . Каждая из его вершин является вершиной трехгранного угла. На основании теоремы 1 имеем:
Ð BAD < Ð SAD + ÐSAB,
Ð ABC < Ð ABS + Ð SBC,
Ð BCD < Ð SCB + Ð SCD,
Ð ADC < Ð ADS + ÐSDC,…
Сложим правые и левые части этих неравенств. В правой части мы получим сумму всех внутренних углов треугольников ABS, BCS, ... без суммы углов с вершиной в точке S, т. е. 2dn - Σ, где Σ - сумма всех плоских углов многогранного угла. В левой части неравенства мы имеем сумму всех внутренних углов многоугольников, равную 2 dn - 4d. Таким образом, 2 dn - 4d < 2 dn - Σ, откуда
Σ < 4 d.