В школьном курсе математики изучаются призма, пирамида, цилиндр, конус, шар и части шара. Призма и пирамида относятся к многогранникам, цилиндр является представителем класса цилиндрических тел, конус - представителем класса конических тел. Однако очень удобно рассматривать призму как цилиндрическое, а пирамиду - как коническое тело.
Шар можно рассматривать как тело вращения. Телами вращения являются также прямые круговые цилиндр и конус и т. д.
МНОГОГРАННИКИ
Грани многогранника, имеющие общие стороны (ребра), называются смежными. Две смежные грани образуют двугранный угол. Диагональю многогранника называется отрезок прямой, соединяющий две вершины многогранника, не лежащие на одной грани. Многогранник обозначают его вершинами или диагональю, например, многогранник ABCDAlB1C1Dl или многогранник АС1.
Многогранник, имеющий четыре грани, называется четырехгранником, пять граней - пятигранником и т. д.
Многогранник называется правильным, если все его грани — равные между собой правильные многоугольники и все многогранные углы равны.
В каждой вершине многогранника сходятся не менее трех граней, плоские углы которых равны между собой и в сумме составляют меньше 360°. Если гранями правильного многогранника являются правильные треугольники, то в каждой вершине многогранника может сходиться либо три треугольника (60° ·3 < 360°), либо четыре треугольника (60°·4 < 360°), либо пять треугольников (60°·5 < 360°). Шесть правильных треугольников не могут образовать многогранного угла, так как 60°·6 = 360°.
Таким образом, существуют лишь три типа правильных многогранников, гранями которых являются правильные треугольники.
- Правильный четырехугольник (тетраэдр), поверхность которого составлена из четырех правильных треугольников, сходящихся по три в каждой вершине. Тетраэдр имеет 4 вершины и 6 ребер.
- Правильный восьмигранник (октаэдр), поверхность которого составлена из восьми правильных треугольников (рис. 187), сходящихся по четыре в каждой вершине. Октаэдр имеет 6 вершин и 12 ребер.
- Правильный двадцатигранник (икосаэдр), поверхность которого состоит из 20 правильных треугольников, сходящихся по пять в каждой вершине. Икосаэдр имеет 20 вершин и 30 ребер.
Из правильных пятиугольников можно составить лишь один правильный многогранник, в каждой вершине которого сходятся по три грани (108°·3 < 360°, 108°·4 > 360°). Этот многогранник называется додекаэдром. Он имеет 12 граней, 20 вершин и 30 ребер.
Из правильных шестигранников нельзя составить даже трехгранного угла, так.как 120°·3 = 360°.
Итак, мы показали, что гранями правильных многогранников могут служить лишь правильные треугольники, квадраты и правильные пятиугольники и что существует лишь пять видов правильных многогранников: тетраэдр, октаэдр, икосаэдр, куб и додекаэдр.