ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СВОЙСТВА ШАРА
Шар может быть получен вращением полукруга вокруг ограничивающего его диаметра. При этом полуокружность описывает шаровую поверхность.
Отрезок, соединяющий центр сферы с любой ее точкой, называется радиусом шара.
Отрезок, соединяющий две любые точки на сфере, называется хордой шара. Хорда шара, проходящая через его центр, называется диаметром шара.
Теорема 1. Сечение сферы любой пересекающей ее плоскостью есть окружность.
Доказательство. Опустим из центра шара О перпендикуляр ON на секущую плоскость. Пусть ON = h, где 0 ≤ h < R. Тогда для любой точки М, принадлежащей как секущей плоскости, так и сфере, имеем
,
Если секущая плоскость проходит через центр шара, то h = 0 и в сечении мы получим окружность, радиус которой равен радиусу шара.
Плоскость, имеющая с шаром одну и только одну общую точку, называется касательной плоскостью к шаровой поверхности.
Теорема 2. Плоскость Р, перпендикулярная к радиусу шара и проведенная в его конце,- есть касательная плоскость.
Доказательство. Плоскость Р и шаровая поверхность имеют общую точку А - конец радиуса ОА. Для любой другой точки М, взятой на плоскости Р, очевидно, ОМ > ОА, так как ОМ, будучи наклонной к плоскости Р, длиннее перпендикуляра ОА. Следовательно, точка М лежит вне шара, т. е. А - единственная общая точка плоскости Р и шаровой поверхности.
Тело, отсекаемое от шара плоскостью, называется шаровым сегментом. Отрезок радиуса 01А, перпендикулярный к секущей плоскости и заключенный между этой плоскостью и сферой, называется высотой сегмента.
Тело, отсекаемое от шара двумя параллельными плоскостями, называется шаровым слоем, а сферическая поверхность шарового слоя - шаровым поясом. Отрезок O1O2 диаметра, перпендикулярного к секущим плоскостям, называется высотой шарового слоя.
Шаровой сегмент можно рассматривать как частный случай шарового слоя, когда одна из секущих плоскостей есть касательная плоскость. Если обе секущие плоскости занимают положение параллельных касательных плоскостей, то шаровой слой переходит в шар. Высота такого шарового слоя равна диаметру шара.
Шаровой пояс и поверхность шарового сегмента можно получить вращением дуги цолуокружности вокруг ее диаметра.
Тело, полученное вращением кругового сектора вокруг диаметра, лежащего в его плоскости и не пересекающего внутренность сектора, называется шаровым сектором.
На рисунке изображен простой, или сплошной шаровой сектор. Он получается в том случае, когда радиус, ограничивающий соответствующий круговой сектор, лежит на оси вращения. В противном случае получается полый шаровой сектор. Простой шаровой сектор состоит из шарового сегмента и конуса. Высота этого шарового сегмента называется также высотой шарового сектора.
Полый шаровой сектор ограничен двумя коническими поверхностями и шаровым поясом. Высота полого шарового сектора совпадает с высотой этого шарового пояса.